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agevolmente, per tutti i punti \x\<l ed è sviluppabile in serie di potenze 

 di x entro il cerchio di raggio 1 col centro nell'origine. Si sa, e questa co- 

 stituisce la proprietà caratteristica dello sviluppo, osservata già da Lambert, 

 che il coefficiente di x n è -uguale al numero dei divisori di n ; quindi, esclu- 

 dendo per n il valore 1, questo coefficiente sarà eguale a 2, quando n è un 

 numero primo, maggiore di due nel caso Opposto. 

 a Ponendo: 



00 



Zx m 2 x 



^ m 



si potrà per |a?|<l, avere S(à?) espresso sotto la forma : 



o°_. 



(2) S(x)=y c m x m , dove c m è nullo, se m è un 



i m 



numero primo, maggiore o eguale ad 1 in tutti gli altri casi. 



« Tracciata una circonferenza C col centro nell'origine, di raggio q, 



1 00 



eguale per esempio ad -j-, la serie 2. c m x m convergerà in egual grado lungo 



u 1 m 



C e sarà quindi integrabile termine a termine; lo stesso si potrà dire del 



00 



prodotto x s ^_ c m x m , qualunque sia il numero finito z reale o complesso, 



poiché x non si annulla, nè diviene infinito lungo la circonferenza. C'è da 

 osservare soltanto che, x z essendo funzione multiforme, bisogna fissare come e su 



00 



quale degli infiniti rami di x z ^_ m c m x m si opera l'integrazione. Questo si fa 



i 



nel modo più semplice, ponendo x = q e ib e conducendo l'integrazione lungo 

 la circonferenza C da 0 = 0 a 0 = 2tt. Le altre determinazioni dello stesso 

 integrale si avrebbero facendo variar 0 da un valore iniziale arbitrario 0„ 

 a 0 O + 2 7i. 



« Ponendo pertanto: 



si /~» 217 



(3) P(«) = gl r l a*- 1 S(x) clx = q z è* S (g e*) ci 8 , 



resta determinato in modo unico una funzione uniforme P(z) della variabile 

 complessa z, singolare soltanto per £ = oo, cioè una trascendente intera. 

 u Indicando con n un numero intero, si ha immediatamente : 



(4) 

 (5) 



P(») = 0 (n> 0) 



P(— n) --= c n (n > 1) 



