~ 306 — 



« La (5) merita di essere notata, perchè, dato ad arbitrio un numero 

 intero a, permette di decidere se esso sia o no primo. 



« Per ogni altro valore non intero di s, ponendo ancora x = q e A e te- 

 nendo presente l'osservazione fatta, si può scrivere sotto la forma: 



/"* °° ' oo \ e ' 2 ~' 



(6) P(*) = Ì- ^C m X^dx==^-.\y CrJ—J 



Jn oo 



^ in ' 



« Se * non è reale e quindi del tipo ,u -f- i v (con v diverso da zero), 



mettendo m evidenza m 7 , , la parte reale e la parte immaginaria, 

 potremo scrivere: 



: 00 OQ \ 



n*) - 2ttì Q l« L) i/j^m + ,u) 2 + v* ~ lv Z^Jm + p)» + W ' 



da cui apparisce che P(» non può annullarsi per valori complessi dell'argo- 

 mento s. Infatti q z , e 2, ~ z — 1 non vanno certamente a zero per valori finiti 

 non interi di g e nel terzo fattore il coefficiente dell'unità immaginaria 



Z c m g m . : 



^ m _j_ a yz _j_ v t , siccome i termini della serie sono tutti positivi, 



non si può annullare per v 5; 0, quindi il fattore stesso è certamente diverso 

 da zero. 



« Ciò posto, noi ci proponiamo di determinare per ciascun numero in- 

 tero negativo — n un cerchio di centro — n e di raggio r n , entro cui non 

 cade alcuna o tutt'al più una radice dell'equazione P(Y) = 0. Siccome si è 

 visto or ora che P(Y) non può avere radici immaginarie, basterà prendere in 

 esame i valori reali di s nell'intorno di ciascun — n, 



« Supporremo dapprima n non primo. Allora, facendo nella (6), g= — n=kr„, 



00 



\ C m Q m 



il terzo fattore / — — — - potrà essere scritto: 



2 m 



co '(L — 1 00 



m — n =tr r n / n—m—r n r n , m — n~±r n ' 



1 m 1 m n+l m 



