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a y — n -f- |j e quindi a più forte ragione nell'intervallo da ^ — n — 



00 



/ 1 \ . C O m 



a ( — w +o^2l' l'espressione > m ^ si mantiene costantemente ne- 

 gativa. 



« Riassumendo si conclude che per %^12, qualunque sia il numero 



intero n, entro il cerchio di centro — « e di raggio r n = cade nessuna 



ovvero soltanto una radice dell'equazione Y(z) = 0 : Si può proprio asserire 

 soltanto una, poiché i punti — n, con n primo, in cui si annulla, non 

 sono radici multiple. Infatti, essendo c n = 0, vale per P( — n) l'espressione (6) 



co 



V c gin 



e, siccome abbiam visto che in questo caso > ~^zt~~ re sta, per z = — n, 



2 m 



finito e diverso da zero, P( — a) si annulla come e--~ ' m — 1, cioè semplicemente. 



« Noi siamo ora in grado di determinare il numero dei numeri primi 

 compresi in un dato intervallo (a /?). Supporremo, ciò che si può fare senza 

 restrizione, /?, a non interi, /5>-«^>12. 



« Indicando con h un qualunque numero intero compreso fra a e /? e 



con C/i la circonferenza di raggio ^rr-^ descritta intorno a — h, per un noto 



i i r* pY^) 



teorema di Cauchv, 'l'integrale — — : l -^-r ds rappresenta il numero delle 



2mJ Ch P(*) 



radici di P(^) comprese entro G h , quindi 0 o 1 secondochè h è numero com- 

 posto o primo. Ne deduciamo che il numero N a p dei numeri primi compresi 

 fra a e /? potrà essere espresso da: 



E(«)+l 



dove E(a), E(/S) designano, secondo la notazione di Legendre, i massimi interi 

 contenuti in a e § rispettivamente, P(s), come segue dalle (1), (3), è de- 

 finito da: 



