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« A questo stesso risultato si giunge anche se la superficie F ammette 

 un gruppo* continuo (soltanto) oo 2 di trasformazioni projettive; ed è facile 

 anzf riconoscere direttamente che questo gruppo oo 2 deve appunto contenere 

 sempre un sottogruppo eccezionale co 1 (deve essere cioè integrabile) (>)■• Infatti 

 ogni punto, il quale sia unito per un'omografia (non ciclica) del gruppo, e quindi per 

 tutte quelle di un certo sottogruppo co 1 , ma non per le rimanenti ( 2 ), vien 

 portato dalle diverse operazioni del gruppo co 2 nei punti di una linea (luogo 

 di un punto unito variabile), che è mutata in sè stessa da tutte le omo- 

 grafie del gruppo complessivo (oo 2 ) ; dunque nei punti di una curva razio- 

 nale normale di un certo ordine r <.»— -1, la quale conterrà anche un punto 

 unito fisso ( 3 ). La superficie luogo delle tangenti a questa curva verrà se- 

 gata dall'Sr-, osculatore ad essa in quel punto unito fisso secondo una 

 curva di ordine r — 1 ("), che sarà anche unita rispetto alle stesse omografie 

 (perchè intersezione di due varietà unite) , e conterrà del pari un nuovo punto 

 unito variabile. Analogamente si dimostrerebbe che gli altri r — 2 punti uniti 

 contenuti nello spazio S,, della curva C r primitiva descrivono rispettivamente 

 una C r - 2 , una G r " 3 , . . . . (tutte razionali normali) , e infine una conica e una 

 retta, passanti sempre per il punto unito fisso sulla curva C r (e aventi ivi 

 con quest'ultima curva contatti di ordini gradatamente decrescenti). In ge- 

 nerale, se fra gli n punti uniti dello spazio S^i ( 5 ) ve ne sono k fissi, tutti 

 gli n si distribuiranno secondo k aggruppamenti di questo stesso tipo ( 6 ). 

 Imponendo ora a ciascun punto unito variabile di coincidere con quello fra 



risultasse misto, noi potremmo sempre limitarci a tener conto del suo sottogruppo con- 

 tinuo più ampio (cfr. questi Rendi, p. 234-235; e anche : Vessiot, Ann. Ec. Norm. Sup., 1892; 

 p. 236). 



(!) Dalle ricerche generali del sig. Lie (Theorie der Transformationsgruppen, voi. Ili, 

 p. 681 e 713) risulta anzi che ogni gruppo continuo oo* è integrabile ; ma noi vogliamo 

 vedere anche come si ottenga, nel nostro caso, il sottogruppo eccezionale oo 1 . 



( 2 ) Se le oo 2 omografie avessero tutte gli stessi punti uniti, esse sarebbero permuta- 

 bili, e ogni sottogruppo oo 1 contenuto nel gruppo oo 2 risulterebbe perciò eccezionale. 



(3) Cfr. Enriques, Atti Ist. Yen., ser. 7 a , t. IV, p. 1607 (per il caso n = 4), e 

 anche la mia Nota a p. 149 di questi Rend. (n. 3). Il gruppo oo 2 non potrebbe subordi- 

 nare su questa curva un solo gruppo oo 1 di projettività, perchè se no sulla curva stessa 

 vi sarebbero già due punti uniti fissi (comuni a tutte queste projettività); ed essendovi, 

 oltre a questi, anche un (terzo) punto unito variabile, risulterebbero uniti per ogni omo- 

 grafia del gruppo oo 2 tutti i punti della curva C r , e quindi anche quelli dello spazio S r 

 in cui questa curva è contenuta. 



( 4 ) Più la tangente alla curva nello stesso punto unito, da contarsi r — 1 volta. 



( 5 ) In questo ragionamento si suppone che Tomografia generale del gruppo oo 2 non 

 abbia che un numero finito di punti uniti (i quali saranno però tutti distinti ; cfr. questi 

 Rend., p. 155); ma il risultato vale anche in ogni altro caso. 



( 6 ) Si noti che due diversi fra questi aggruppamenti non possono corrispondere a 

 uno stesso punto fisso, a meno che ogni omografìa del gruppo non abbia infiniti punti 

 doppi (cfr. ad es. Enriques, 1. e, p. 1608). 



Rendiconti. 1895, Vol. IV, 1° Sem. 43 



