— 324 — 



i k punti fissi che sta sulla sua traiettoria (e basta che l'imponiamo ad uno, 

 perche così avvenga per tutti), noi veniamo appunto a staccare dal gruppo 

 complessivo co 2 un sottogruppo oo 1 , che è certamente eccezionale, perchè 

 ogni gruppo co 2 di projettività in una forma semplice (o ente razionale) 

 — gruppo che ammette necessariamente un elemento unito fisso ( J ) — contiene 

 come sottogruppo eccezionale il fascio di omografie paraboliche con questo 

 stesso (unico) elemento unito. Il gruppo oo 8 considerato è dunque effettiva- 

 mente integrabile ( 2 ). 



« 2. Supponiamo ora che la superficie algebrica F contenente la curva r 

 ammetta un gruppo transitivo anche tre o più volte infinito di trasformazioni 

 projettive, e vediamo come si possa ancora trarne, per altra via, qualche 

 risultato generale. — Eicordiamo perciò che ogni superficie algebrica, la quale 

 ammetta un gruppo continuo transitivo di trasformazioni projettive. è razio- 

 nale (cfr. p. 159 di questi Rend.), e dà luogo perciò, in ogni sua rappre- 

 sentazione piana, a un sistema lineare di curve (piane) mutato in sè stesso 

 da un certo gruppo continuo di trasformazioni Cremoniane. Questo gruppo 

 può sempre ridursi con un' ulteriore trasformazione Cremoniana (se già non è 

 tale) a uno dei tre tipi seguenti ( 3 ) : 



1°) Gruppo oo 8 delle omografie, e suoi sottogruppi; 



2°) Gruppo co 6 delle trasformazioni quadratiche che mutano in sè 

 due fasci di raggi (ovvero : gruppo delle inversioni rispetto ai circoli del 

 piano), e suoi sottogruppi ; 



3°) Gruppo oo ra+h (con m arbitrario) delle trasformazioni di Jon- 

 quières (di ordine m) che mutano in sè il sistema lineare oo m+l delle curve 

 di ordine m con un punto base (m — \y° e le m — 1 tangenti fisse, e suoi 

 sottogruppi ; 



e noi possiamo anzi supporre ch'esso appartenga già a uno di questi stessi 

 tipi, perchè se no tutto si ridurrebbe a modificare opportunamente la rap- 

 presentazione piana della superficie proposta (a sostituire cioè al primo si- 

 stema rappresentativo di essa un altro sistema, identico a questo dal punto 

 di vista delle trasformazioni birazionali). 



« Ma, nel secondo dei tre casi, noi possiamo ancora considerare il piano 

 come projezione stereografica di una quadrica di S 3 , per modo che i due 



C 1 ) Cfr. Lie, Theorie der Transformationsgruppen, voi. I, p. 569. 



( 2 ) E chiaro come in questo caso (e anche in tutti gli altri casi di gruppi integrabili 

 considerati nell'ultima mia Nota) risulti confermato il teorema del sig. Lie (op. cit., voi. I, 

 p. 289; o anche : Lie-Scheffers, Vorlesungen ùber continuirliche Gruppen . . ., p. 532), che 

 cioè ogni gruppo integrabile di trasformazioni projettive di uno spazio S r deve lasciar fisso 



almeno un punto di questo spazio, e che per ogni S*. (k=0 ,1,2, r—2), il quale 



sia unito per tutte le trasformazioni del gruppo, deve passare almeno un S*, +1 , del pari unito 

 per queste. 



( 3 ) Cfr. Enriques, Eend. di quest'Acc, voi. II, 1° sem., p. 468. 



