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e che i coefficienti di quest' equazione, supposto ridotto all'unità imo qualunque 

 di essi, ad es. quello di z'" , saranno funzioni razionali nel campo presta- 

 bilito. Essi rimangono infatti numericamente invariati per ogni sostituzione 

 lineare delle Zi, dunque anche per ogni sostituzione lineare delle y t la quale de- 

 termini una trasformazione proiettiva della superficie F in sè stessa, e quindi 

 certo per ogni operazione contenuta nel Gruppo eli razionalità dell'equazione 

 differenziale proposta ( 1 ). 



« Nel secondo e nel terzo caso si giunge a un risultato perfettamente ana- 

 logo (vale a dire a un' equazione differenziale lineare del 4° o dell'(m -j- 2) simo 

 ordine, sempre a cofficienti razionali) , solo che nel secondo caso le soluzioni 

 Zi saranno ancora legate da un' equazione algebrica omogenea di secondo grado, 

 e nel terzo caso da un sistema di equazioni rappresentanti il cono conside- 

 rato di S TO+1 (un'equazione sola per m = 2) ( 2 ). 



« 3. Nel primo caso le (tre) Zi saranno dunque integrali indipendenti di 

 un'equazione differenziale lineare di 3° ordine, a coefficienti razionali; ma 

 non saranno più legate, naturalmente, da nessuna equazione algebrica a coeffi- 

 cienti costanti (se no la curva r sarebbe essa stessa algebrica). E, in generale, 

 non si potrà dirne altro. Questa nuova equazione differenziale potrà avere 

 come gruppo di razionalità l'intero gruppo oo 8 delle omografìe piane, ovvero 

 un suo sottogruppo qualsiasi ( 3 ), e per ciascuno di questi casi deve esistere e 

 si potrebbe costruire una particolare teoria di integrazione ( 4 ). 



piano a (tre) tipi determinati (cfr. anche la Nota suecssiva a p. 532 del voi. cit. di questi 

 Rend., e la mia Nota a p. 149 di questo voi.). Il sig. Enriques aveva anzi già notato 

 come queste sue ricerche si potessero mettere in relazione con quelle sulle superficie 

 algebriche con infinite trasformazioni projettive in sè stesse (cfr. Atti Ist. Ven , ser. T, 

 t. IV, p. 1592). 



(*) Ed è questa appunto la condizione necessaria e sufficiente perchè una funzione 

 razionale delle soluzioni z e loro derivate sia anche funzione razionale della variabile 

 indipendente (cfr. Vessiot, Mem. cit., p. 231). È bene notare però che si tratta sempre di 

 invariabilità numerica, non formale; un fatto queste che anche nella memoria classica e 

 così importante del Sig. Vessiot non è messo forse abbastanza in evidenza (cfr. ad es. le lez. 

 litogr. del Sig. Klein : Einleitung in die kòhere Geometrie, II, p. 299). 



( 2 ) Queste nuove equazioni differenziali sarebbero dunque trasformate razionali del- 

 l'equazione differenziale proposta. Per calcolarle effettivamente, bisognerà conoscere, caso 

 per caso, le formule che servono a trasformare la superficie data F in un piano, in una 

 quadrica, o in un cono razionale, nel modo già stabilito. 



( 3 ) 0 anche il gruppo oo 9 di tutte le sostituzioni lineari ternarie, quando si tenga 

 conto altresì della possibile esistenza di un fattore esponenziale comune a tutte le solu- 

 zioni (e che si potrà determinare con una quadratura). 



( 4 ) I gruppi continui di omografie piane sono stati determinati tutti dal sig. Lie 

 (cfr. ad es.: Theorie der Transformationsgruppen, voi. Ili, cap. 5°; o anche Lie-Scheffers : 

 op. cit., cap. 11). Dalle sue ricerche risulta in particolare che il gruppo oc 8 di tutte queste 

 omografie (e anche il gruppo analogo per uno spazio qualunque) è un gruppo semplice 



