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« Nel secondo caso le (quattro) *, saranno i prodotti di due coppie di 

 soluzioni distinte di due equazioni differenziali lineari di 2° ordine, i cui 

 coefficienti si potranno ottenere razionalmente, quando al campo di razionalità 

 primitivo si sia aggiunta una certa radice quadrata (cfr. il n. 5 della mia 

 Nota a p. 292 di questi Rend.). In casi particolari l'integrazione di queste 

 due equazioni potrà subire ulteriori semplificazioni. 



« Nel terzo caso infine, tutte le *< meno una (ad es. per i = 1, 2, ... . m -f 1) 

 dovranno soddisfare a una stessa equazione differenziale lineare di ordine m-\- 1, 

 a coefficienti razionali, la quale ammetterà come soluzioni le potenze m sime 

 degli integrali di una determinata equazione differenziale lineare di 2° or- 

 dine, pure a coefficienti razionali. Siamo dunque ricondotti all'integrazione 

 di quesf ultima equazione ('). — La * m+ , si potrà poi determinare, conosciute 

 le soluzioni precedenti, con una serie di quadrature ( 2 ). 



« 4. Ci rimane ora a considerare il caso in cui la superficie F ammette 

 soltanto un gruppo intransitivo, due o più volte infinito, di trasformazioni 

 proiettive ( 3 ). Vi è allora su di essa un fascio (non necessariamente razio- 

 nale) di curve razionali normali C r , appartenenti a spazi S r (r<> — 1), 



(privo cioè di sottogruppi eccezionali — teorema già comunicato nei Math. Ann., voi. XXV, 

 p. 130 -); sicché l'integrazione di un'equazione differenziale lineare di 3° ordine (e anche 

 di ordine superiore) del tipo più generale è un problema irriducibile (che non si può 

 ricondurre cioè a problemi meno elevati), quando solo si prescinda da quella semplifica- 

 zione, forse più apparente che reale, che proviene dal fatto che il gruppo co • di tutte le 

 sostituzioni lineari ternarie (e analogamente per più variabili) contiene come sottogruppo 

 eccezionale il corrispondente gruppo lineare omogeneo speciale, caratterizzato dai deter- 

 minanti unità, il quale è appunto isomorfo a quello di tutte le omografie (piane, o di 

 un opportuno S r ). — I diversi casi che si possono presentare per le equazioni differen- 

 ziali lineari di 3° ordine sono stati studiati nella Mem. cit. di Vessiot (pag. 265 e seg.), 

 dove è anche osservato che, fatta astrazione da quella quadratura che corrisponde al pas- 

 saggio dal gruppo oo° a quello semplice oo«, il problema si puf) ridurre, anche nel caso 

 generale, all'integrazione di un'equazione differenziale (non lineare) di 2° ordine (come 

 anche a un'equazione differenziale lineare di 2° ordine si può sempre sostituire un'equa- 

 zione non lineare di 1° ordine, e precisamente un' equazione di Riccati). 



(1) Questa è infatti la generalizzazione, per m qualunque, del caso di una curva 

 contenuta in un cono quadrico di S 8 (m=2). Nello spazio z m+2 =-0, le Zi z 2 , ... z m+l sa- 

 rebbero infatti coordinate di un punto (variabile) di una curva razionale normale di or- 

 dine m. — Anche qui potrebbero presentarsi, in casi particolari, ulteriori semplificazioni ; 

 cosi p. e. le z , .... z m +i sarebbero tutte razionali quando il gruppo considerato di omo- 

 grafie sul cono si componesse di sole omologie. 



( 2 ) Come nuova (ultima) soluzione di un'equazione differenziale lineare di ordine 

 m + 2, della quale sarebbero già note m,-\-\ soluzioni indipendenti. 



(3) In questo caso non si può più asserire infatti che la superficie F sia razionale, 

 e questa è stata appunto la base di tutto il ragionamento dei due n 1 . precedenti. 

 Quello però che si è detto al n. 1 per i gruppi oo 2 non escludeva il caso di un gruppo 

 intransitivo (nel qual caso però un' omografia generale deve sempre avere infiniti punti 

 doppi. Cfr. anche la nota ( 4 ) a p. 153 di questi Rend.). 



