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ciascuna delle quali è mutata in sè stessa da tutte le omografie del gruppo. 

 Se quest'ultimo è solo oo 2 , esso è certo integrabile (e sarebbe anzi simile 

 a un gruppo co 2 di projettività binarie) ; in ogni altro caso noi potremo im- 

 porre ai punti di una particolare curva C r di essere tutti uniti. Se questa 

 condizione è soddisfatta dalla sola trasformazione identica l'integrazione 

 dell'equazione differenziale proposta potrà ricondursi a quella di un'equa- 

 zione differenziale lineare di 2° ordine (perchè i diversi valori che le y x 

 assumono in uno stesso elemento dell'ente algebrico dato si potranno far 

 dipendere razionalmente da un parametro, che potrà subire a sua volta 

 un certo gruppo di sostituzioni projettive). Se invece la stessa condizione è 

 soddisfatta da tutto un gruppo infinito di projettività (gruppo che sarà certo 

 eccezionale entro quello primitivo) , è facile riconoscere che le omografie così 

 subordinate sulle (altre) curve G r dovranno essere tutte paraboliche (perchè 

 se no ogni omografia dovrebbe avere, entro ciascun S , r-j- 3 punti doppi 

 indipendenti, appartenenti (in generale) ad altrettanti spazi di punti uniti, 

 i quali tutti dovrebbero incontrare YS r della prima curva, che pure sarebbe 

 luogo di punti uniti. E poiché due spazi (distinti) di punti uniti non pos- 

 sono mai incontrarsi, a meno di non esser contenuti in uno stesso spazio più 

 ampio e pure luogo di punti uniti, se ne trae subito che una tale omografia non 

 potrebbe essere diversa dall'identità). Di più, sopra ogni curva C le diverse 

 omografie paraboliche così subordinate avranno tutte lo stesso punto unito 

 (perchè è questo l'unico caso possibile di un gruppo costituito da sole omo- 

 grafie paraboliche). E questi punti uniti formeranno una curva (direttrice) é, 

 che sarà unita anche rispetto a tutte le trasformazioni del gruppo primitivo ( 2 ). 

 Infatti, se una projettività P di questo gruppo la mutasse in un'altra diret- 

 trice d' , indicata con Q una projettività qualunque del sottogruppo eccezio- 

 nale dianzi considerato (rispetto a cui d è certo curva unita) , sarebbe P- 1 Q P 

 (la trasformata cioè di Q mediante P) una proiettività di questo stesso sot- 

 togruppo, la quale muterebbe d' in sè stessa ; e ciò è assurdo, a meno che il 

 prodotto P-'QP non sia l'identità, nel qual caso però anche Q dovrebbe coincidere 

 colla trasformazione identica (mentre invece si era detto di prenderla ad arbitrio 

 entro un gruppo almeno co >). — Tutte le omografie del gruppo proposto lasciano 



( 1 ) Nel caso (supposto possibile) di un gruppo complessivo misto, questa condizione 

 sarebbe soddisfatta da un numero finito di projettività (una per schiera), formanti un 

 gruppo discontinuo finito; e queste projettività dovrebbero subordinare sulle altre curve C 

 (per ragioni che si vedranno in seguito) omografie paraboliche. Ma poiché in una forma 

 semplice non esistono gruppi finiti di tali omografie, così questo caso non potrà certo 

 presentarsi. 



( 2 ) Questa curva potrebbe in particolare ridursi ad un punto (comune a tutte le 

 curve C r ); ed è chiaro allora che un tal punto dovrebbe anche essere unito rispetto a 

 tutte le trasformazioni del gruppo complessivo (supposto almeno oo 2 , — o anche od 1 , ma 

 continuo — ). 



