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dunque fìssa la direttrice d; e se anche le projettività subordinate sulle sin- 

 gole curve G r non sono in generale paraboliche, vi sarà certo un sottogruppo 

 (eccezionale) , di dimensione inferiore soltanto di un' unità, composto di sole 

 omografìe così fatte. Queste omografie saranno tutte permutabili, e perciò il 

 gruppo proposto sarà in ogni caso integrabile (quando non sia simile a quello oo 3 

 delle projettività binarie (') ( 2 ) )• 



« Dunque: Se la curva r definita dall'equazione differenziale proposta 

 è contenuta in una superficie algebrica trasformata in sè stessa soltanto 

 da un gruppo intransitivo di omografie, l'equazione differenziale è certo 

 integrabile per quadrature, a meno che questo gruppo non sia precisa- 

 mente oo 3 , e simile al gruppo delle projettività binarie. In quest'ultimo 

 caso occorrerà, in generale, l'integrazione di un'equazione differenziale li- 

 neare di 2° ordine. 



« Come risultato ultimo, abbiamo dunque che V integrazione di un'equa- 

 zione differenziale lineare di ordine qualsiasi, la quale definisca una curva 

 contenuta in una superficie algebrica, può sempre ricondursi, astrazion 

 fatta da quadrature e da operazioni algebriche (e quando queste opera- 

 zioni non bastino), a quella di: 



1°) Un'equazione differenziale lineare del 3° ordine; oppure di: 

 2°) Una o due equazioni differenziali lineari di 2° ordine. — 

 Questo secondo caso si presenta ogni qual volta la superficie in discorso con- 

 tiene uno o rispettivamente due fasci razionali di curve, tali che le curve 



(!) Anche qui, per ragioni analoghe a quelle accennate in una nota prec, non può 

 presentarsi il caso di un gruppo complessivo misto. 



( 2 ) Queste considerazioni completano il cenno brevissimo sui gruppi intransitivi di tras- 

 formazioni proiettive di una superficie algebrica in sè stessa, già contenuto in una nota 

 a p. 159 di questi Eend. : Se una superficie algebrica ammette un gruppo intransitivo, 

 due o più volte infinito, di trasformazioni projettive, vi è sempre una curva {direttrice) 

 luogo di punti uniti per tutte le trasformazioni del gruppo {e che potrà anche, in par- 

 ticolare, ridursi ad un punto; ad es. nel caso del cono), oppure vi è un fascio razionale 

 di direttrici, sulle quali il gruppo {che sarà in tal caso co 3 ) opera come sui punti di 

 una punteggiata. La direttrice uscente da un punto qualunque della superficie è precisa- 

 mente il luogo dei punti che risultano uniti sulle singole curve G r , quando a quel primo 

 punto si imponga di essere unito. — Del resto, si può anche vedere direttamente che le 

 direttrici minime (ossia di ordine minimo) della nostra superficie non possono essere (come 

 sulle rigate) che in numero finito, oppure oo 1 (perchè se fossero almeno co 2 , si potrebbe 

 ancora abbassarne l'ordine, imponendo a una di esse di contenere due punti distinti di una 

 stessa curva C r , e quindi tutta questa curva. Nè è possibile che non vi siano affatto di- 

 rettrici, perchè le projettività del gruppo considerato danno facilmente (coi loro punti uniti) 

 modo di costruirne). Se le direttrici minime sono co \ il gruppo di omografie opera su di 

 esse come sui punti di una curva, ed è quindi al più oo 3 . Se invece le direttrici 

 minime sono in numero finito, lo stesso gruppo di omografie, se è continuo (o, se è misto, 

 ogni gruppo continuo in esso contenuto) deve ammetterle tutte come curve di punti uniti, 

 dal che segue senz'altro che non può esservene che una sola (o al più due, quando il 

 grappo fosse oo 1 ). 



