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« Per dimostrare la (I) si osservi che essa è vera per r = 1 , 2 . . . ; 

 basterà quindi procedere per induzione e, suppostala vera fino ad un certo 



numero r, dimostrarla per Si sostituisca perciò nella (I) ad u, - 



Ot)C r -\-l 



e nella formula che così si ottiene si osservi che 



( _ i ^_ = (_. i u + 



+ 



~iX r -i-i \ vX\ • • • òX r ) 



e a quest'ultimo termine si applichi di nuovo la (I) : si ha allora la for- 

 mula stessa, cambiato r in r -+- 1 . La formula è così dimostrata in generale. 



* 2. Consideriamo ora l'espressione differenziale lineare 

 ^) i2(u)- — H-Va — - -1 f- V a - • _|_.. 



-f- • ■ • -j- «i j... n Z( 



e le sue componenti dei diversi ordini (B, pag. 135) 



i 2 ...ir • 



« Definiamo quindi (un po' diversamente dal prof. Bianchi) l'espres- 

 sione aggiunta della Sì(u) 



(2) * (v) = (-ir — ^- + (-ir 1 v^o^i + ... + 



H 



+ (— l)"- 4 > '— ^ -\ f- ai-2...nW 



i i, s-f-i '» 

 1 • • • * 



e le sue componenti 



®«1 i 2 ...ir' 



Sarà allora ( — Vf®i i ...i r l'espressione aggiunta di i2 i:JÌ2 ...i r 



« 3. Vogliasi ora l'integrale regolare u della equazione 12(m) — 0 , quando 

 lungo un'ipersuperficie cr, che soddisfi alle condizioni enunciate in prin- 

 cipio, siano assegnati i valori della funzione u , di una delle sue derivate 

 prime, di una delle sue derivate seconde, . . . , di una delle sue derivate di 

 ordine n — 1 . Limitandoci a quella regione di S„ , per la quale ogni Sj 

 parallelo agli assi coordinati incontra effettivamente e in un punto, sia A il 

 punto di coordinate a x a 2 ... a n , dove si vuole calcolare l'integrale; Ai , A 2 ... A„ 

 i punti in cui gli Si condotti per A parallelamente agli assi coordinati 

 X\ , x 2 ...x n incontrano e ; sia poi a il la varietà ad n — 2 dimensioni intersezione 

 dell'ipersuperficie a coll'iperpiano x% x ~ a iì , e in generale sia tf*,.,.*, la va- 

 Rendiconti. 1895, Voi. IV, 1° Sem. 44 



