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« 2. Ciò posto, se ricorriamo ai lavori citati del prof. Bianchi, ve- 

 diamo che la condizione necessaria e sufficiente affinchè la superficie tf> sia 



tagliata dalle traiettorie sotto l'angolo ~ delle linee di curvatura v = cost 



in parallelogrammi infinitesimi equivalenti, è data dalla relazione: 



(5) tg *M * ^4 = cotg % ~(~ , 



alla quale si soddisfa, ponendo 



y e cos^ = sen (w 2 -f , tfj sen | = sen (« 2 — c^) , 



dove &>i , «) 2 sono due angoli legati dalle relazioni : 



( D(« 2 — a>j) 1 4- sen <r 



\ ^ — — sen (co 2 4- o),) , 



(6) J ^ M coso- v 2 ' 17 ' 



] X«2 + <»i) 1 — sen a 



f ~ = sen (a>2 — ojA , 



l Tiy cos e 1 l) ' 



avendo posto e = a — y , ed essendo essi angoli soluzioni della stessa 

 equazione 



{<) = sen 2o) . 



l>u Isv 



« Sono questi i risultati che dànno ragione del nesso che si è asserito 

 esistere fra la teoria delle congruenze pseudosferiche e quella delle super- 

 ficie <Z>, giacché è noto che se x x , y x , *, sono le coordinate di una superficie 

 pseudosferica Si riferita alle sue linee assintotiche (u , v) inclinate fra loro 

 di un angolo 2w x , soluzione della (7), se si costruisce la congruenza deter- 

 minata dalle forinole 



(8) %ì ~ %i + cos a (sen a> 2 X' + cos » 2 X") , 



dove X' , X" , . . . sono i coseni di direzione delle linee di curvatura della S a , 

 e co 2 è legato a co l dalle (6), le x 2 , y 2 , s 2 saranno le coordinate della se- 

 conda falda S 2 della superficie focale, riferita essa pure alle sue linee assin- 

 totiche, il cui angolo d'inclinazione sarà 2w 2 . E siccome i coefficienti della 

 rappresentazione sferica della congruenza così definita soddisfano la (5), si ha 

 che le linee richieste sulla superficie <X> e sulla sfera rappresentativa sono 

 quelle che corrispondono alle linee assintotiche della superficie focale di una 

 qualunque congruenza pseudosferica. 



