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in due punti corrispondenti s'intersecheranno secondo i raggi di una con- 

 gruenza, e se si pone: 



a = Y l Z t — Y t Z l , b = Z i X 2 -'/ l2 X l , c = X l Y 2 -X 2 Y X , 

 a' = W 2 X 1 -W 1 X 2 , è'^WJ^W,^ , ff '=W 2 Z 1 -W 1 Z 2 , 



le equazioni di un raggio della congruenza potranno scriversi 



hz èy 4- d i= 0 , cx — az-\- b' =■■ 0 , ay — bx + c' = 0, 



e la condizione necessaria e sufficiente affinchè la congruenza sia normale è 

 che l'espressione 



da , db , de 



b 

 b' 



sia un differenziale esatto ( 1 ). 



« Introducendo i coseni di direzione X , Y , Z dei raggi della congruenza 

 e l'angolo il dei piani (a), l'espressione precedente prende la forma: 



ie^G | ( w * cosJ2 — WOSX^ + tWxCOsS — W 2 )2XdX 2 j. 

 Ciò posto, si abbia una congruenza pseudosferica, e le 2, , 2 2 siano due su- 

 perficie corrispondenti rispettivamente per parallelismo delle normali alle 

 falde Si , S 2 della sua superficie focale. Completando le formole della tra- 

 sformazione di Bàcklund, aggiungendo alle (6), (7), (8) del numero prece- 

 dente le altre 



— = cos o h X' + sen «, X" , ^ 



cos o)j X' -j- sen c.^ X" , 



2>r 



DX" 



— — A — COS «j Xj 



DM 



7>X 7)0?! „ 



-r— = — X -j- cos w l X, , 



-sen «i Xj 



ìX" 



"3y ~òy 

 X 2 = — cos a cos <o 2 X' -f- cos a sen « 2 X" — sen a X l , 

 colle analoghe per Y 1 ,Z i ; Y 2 , Z 2 ; Y' , Z ; Y" , Z" , si avrà 



X = sen co 2 X' -f- cos w 2 X" , 



X' — sen Mj X! , 



colle analoghe per Y,Z e iì — — -\-a 



« Con queste formole è facile verificare che si ha: 



2X^ = 



~òu 



2X ~^f = sen (w 2 -j-ft),), 

 DX 2 



(!) Darboux, Zrepows .?ar k théorie générale des surfaces, deuxième partie, pag. 277. 



