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« Consideriamo due piani tt 1 , tt 2 uscenti per la retta V n - X Uj, e sieno 

 A'i, B'i i punti della retta n x /?, e A' 2 , B' 2 i punti della retta n 2 0; coniu- 

 gati rispettivamente, ai punti A, B , della retta na. I due triangoli AA\A' 2 , 

 BB'jB' 2 sono prospettivi, avendo per centro di prospettiva U*, quindi i tre 

 punti Q' = A'iA'2 . B',B'g , Q, = AA'i . BB\ , Q 2 == AA' 2 . BB' 2 sono in linea 

 retta; perciò: 



« l 'punti Q, appartenenti ai piani del fascio avente per asse P M _x TJ*, 

 giacciono sopra una retta, che dirò q u passante per il punto Q' =p' n ^ . u\. 



« E bene osservare che ogni piano uscente per una retta q t è eccezio- 

 nale per il complesso, perchè taglia i piani a, § secondo due rette coniugate. 



« 12. I piani eccezionali del complesso sono di due specie: 1° piani che 

 tagliano i piani a e /? secondo rette coniugate, e sono in numero doppiamente 

 infinito ed inviluppano una superficie S. 



« 2° piani che non tagliano i due piani a e /? secondo rette coniugate. 

 Tali sono i piani delle stelle aventi per centri i punti fondamentali di a, 

 od i punti Uj. 



« 13. Sia r una retta qualunque, ed A, A' i punti ra, r@. Preso su d 

 un punto M, le n tangenti condotte per A' all'inviluppo cp', corrispondente 

 alla retta AM, determinano su d n punti che dirò M'. Viceversa, dato un 

 punto M' su d alla retta A'M' corrisponde in a un punto, che unito ad A 

 dà una retta che taglia d in un punto M. Vi sono sulla retta d n -f- 1 

 punti M, ciascuno dei quali coincide con uno dei suoi corrispondenti punti M', 

 e perciò per r passano n-hl piani contenenti, ciascuno, due rette coniugate ; 

 quindi : 



« La superficie S è della classe n~\-\. 



* 14. Per una retta r di a passano n piani, individuati dalla retta r 

 e dalle n tangenti condotte per il punto rd all'inviluppo corrispondente, i 

 quali sono tangenti ad S e non coincidono con a ; quindi il piano « è tan- 

 gente alla superficie. 



* Se la retta r passa per D uno degli n piani precedenti coincide con a, 

 e quindi il punto D è il punto di contatto di a con la superficie S. 



« 15. Se la retta r è tangente alla sezione «S, due delle n tangenti 

 che si possono condurre per il punto rd all'inviluppo y>', corrispondente ad r, 

 coincidono; e ciò avviene quando y passa per rd. Ora, se y' passa per il 

 punto rd, viceversa la curva tp corrispondente al punto rd di /?, è tangente 

 ad r ; quindi la curva aS si può definire come l'inviluppo delle rette, con- 

 dotte per ogni punto di d, tangenti alla curva corrispondente a questo 

 punto, considerato come appartenente al piano fi. 



« Per ogni punto di situato d, passano 2 (n — 1) tangenti alla 

 curva (f corrispondente ; inoltre, vi sono nel fascio di curve y>, corrispondenti 

 ai punti di d, 2(n — 1) curve tangenti alla retta d; quindi la curva «S 

 è della classe 4(n — 1) ed ha la retta d per tangente 2(n — 1) pia. 



