se ne ricava, rispettivamente, 



6 = 6^, d = r ti tj, 



e però anche 8 appartiene ad C. Dunque £ è un grappo. 



« Ciascuna forma di t definisce im gruppo C In particolare, 

 se r(x,y)=xy, si ha C = <p. 

 Se ad una speciale forma t di t corrisponde il gruppo GÈ, le cui operazioni 

 godono della proprietà 



t [e (*>,«(*)] = et 



otteniamo infiniti gruppi ùmili ad (£ prendendo 



*(#,y) — (tt[y(x),v (y)j, 



dove fi, v, è una coppia arbitraria di operazioni inverse. Infatti nel caso 

 attuale l'eguaglianza (2) diventa 



ft t[i> (x) , ve (y)] = ept^y (x) , » (//)] , 



da cui, operando con /* sulle variabili e con v sui due membri, si trae 



t [yep (#) , vsfx (y)^ = vejut (x , y) . 



Dunque l'operazione v e fi appartiene ad GÈ, e, inversamente, /ter appartiene 

 ad i". È ciò che si esprime scrivendo 



vC/t =='© , & — fiQcv . 



Si vede ora che £ è il gruppo trasformato di GÈ, mediante la coppia fi, v'. 

 Se, dunque, vogliamo i gruppi C, trasformati di cP , bisognerà prendere 



^Uc,!j) = {i[_v{.r)r(y)]. (3) 



Così, per 



wm=* . iog.^ ; ^ , rzio^' : 



si ha prima 



V \x) = X , (f 



: ì + x : ' ' 



poi rispettivamente si ricava dalla (3) 



x,y)—xy , x-+-y , -r - ; — • — • — ; — , 



« Nelle nostre ricerche siili 'inversione delle serie (') abbiamo incontrato 

 le operazioni 



©i , ® 2 , <V, , , (4) 



che verificano 1' eguaglianza 



& i O j = Q j Q i = & ij . ( 5 ) 



(') Vedi negli Annali di Matematica, (1885 e 1886), le Note: Sur Vinversion de 

 certaines séries e Fonctions énumrratriccs. 



