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Per estensione di tale uguaglianza a tutti i valori razionali e positivi degli 

 indici, si definiscono infinite altre operazioni: aggregandole alla serie (4) si 

 costituisce un notevole sistema &. Si osservi che. per soddisfare alla condi- 

 zione (5), è d'uopo avere, anzitutto, 



f>i = l. ■ (6) 

 Si vede poi che 1' operazione inversa di 0„ è 0 1 . Ciò posto, è chiaro che, 



se si avesse l'ima o l'altra delle uguaglianze 



O Oj == Oi , Oj SD == &i , 

 se ne dedurrebbe, rispettivamente, 



3 3 3 3 



Per conseguenza, non potrebbe SD non appartenere al sistema 0. Questo è 

 dunque un gruppo. È un gruppo di operazioni tra loro permutabili. 



- È facile scoprire la legge g entrale del gruppo 0. Si ponga, infatti. 

 O n (x) = F {x , n) , 

 e sia ip, una coppia di fimzioni inverse, appartenente al gruppo <P. Immagi- 

 niamo che, ponendo 



per una speciale forma di V il risultato dell'operazione O n , sulla quantità ,r, 

 si riduca ad una certa costante e. Perchè sia verificata la condizione (5) è 

 necessario che si abbia 



da cui si ricava, per conveniente determinazione di i, 



® n (x) = F [<? , n . ipV (xf\ = JJy [n . WY (x)] = U [g> ( n)N , 

 purché si ponga 



F (c ,x) = U(f (se) . (7) 

 Dunque la forma generale delle operazioni 0 è 



0« = Tj\y> (n)"v] • (8) 

 Inoltre, V eguaglianza (6) diventa 



0, = TJV = il : 



le funzioni U, V, sono dunque inverse. Emerge dalla (8) un fatto importante, 

 ed è che, nell'operazione 0„, l'indice n dipende necessariamente da un opera- 

 zione del gruppo O. È pur vero che, sostituendo in (8) la coppia Lty , </>Y, 

 alla coppia U, V, si riesce sempre a far dipendere n dall' operazione identica 

 SP='l; ma le applicazioni aritmetiche, che intendiamo fare della forinola (8). 

 esigono che si conservi a questa tutta la sua generalità. 



Rendiconta 1S86 ; Vol. II. 2° Sem. 6 



