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- Bisogna, ora, verificare che la forinola (8) rappresenta effettivamente 

 una soluzione dell' equazione funzionale (5). Si osservi, a questo scopo, che 

 l'eguaglianza (5) diventa 



U [y (0 V©,] = U \j (j) VO f ] = U [y (ij ) V] : 



ne segue 



VQi _V&j _ <p(ij) y 



9^(0 spO') sp(0y(;) 



Si vede subito che . l' operazione y deve necessariamente verificare la con- 

 dizione (1). Si ottiene poi 



VA = SP(n)-V, 



e questa relazione, paragonata alla (8), mostra che le operazioni TJ, V, sono 

 tra loro inverse. Per 



U (x) = x . e 3 -' , log x 



x 



l+kx ' 



x 



1 — kx 



Y(x) — x . log, 

 la forinola (8) ci dà 



Viceversa, data una forma di 0 W , questa viene ricondotta all'espressione gene- 

 rale (8) osservando che, in virtù di (7), si ha 



U,= F(*,<p), 



cosicché la medesima forma F serve a rappresentare l' operazione data 0« e 

 l' incognita U. Per esempio, negli articoli citati abbiamo fatto osservare che 

 una delle forme possibili di 0„ è 



©n (X) = 



F(x,y) 



1 — xlog<p (n) 



In questo caso 



x 



1— xlogg>(y) 

 Si ha dunque subito 



U (x) =- -, , V (x) = e^~* . 



' 1 — cìogx • 



Tali sono le funzioni generatrici della particolare forma osservata per © M . 



» Si considerino, più generalmente, i sistemi Sì, definiti dall'eguaglianza 



i2 e J? / ^i2 i = i2 T(iJ) . (9) 



Lasciamo, per ora, da parte la ricerca di tutte le forme di r, per le quali 

 1' equazione funzionale (9) è risolvibile. Essa riesce tale, in ogni caso, quando 

 t ha la forma (3), e le sue soluzioni sono in istretto legame col grappo 0. 

 Facilmente si stabilisce, come per le operazioni 0, l' espressione generale 



