che diventa, in questo caso, 



Sì n = Uli[vs(n) . vY~\. (10) 

 Del resto, l'equazione (9) dà 



vY Oj vYOj _ rzr (i , j) 



vs(i)~ ve(j) ~ ve(i)rt(j) 



Se ne deduce che il simbolo s è dotato della proprietà 



vsr (x ,y) = vs(x) ve(y) , 



che si converte, operando con fi, in 



£T (x , y) = (i [V« (x) vt (y)^ = t [s (x) , e (y)^ . 



Così vediamo che l'operazione £ appartiene necessariamente al gruppo £, rela- 

 tivo alla data funzione r. Questi sistemi Ì2 sono poi sempre riducibili alla 

 forma O, poiché applicando, nella (10), l'operazione ,u all'indice n, si ottiene 



— U/t £y (n) . j'Vj , 



ed è questa l'espressione d'ima operazione © n , relativa alla coppia U{i,vY. 

 n È quasi evidente che, se si pone 



G= Y g(n)m\, (11) 

 «=i 



si può scrivere, inversamente, 



H= "X h{n)QtO n , (12) 



dove le fimzioni </, A, sono tra loro conjugate ('). Questo teorema d'inver- 

 sione prende forme apparentemente diverse, secondo l' espressione adottata 

 per Q n . Esso racchiude i noti teoremi di Mobius ( 2 ) e di Tchébychew ( 3 ). 

 Del resto, facilmente si riducono le formole (11) e (12) al caso semplicis- 

 simo di U === V = 1 , poiché, ponendo 



GU = g . HU = DC , 

 le formole considerate diventano, in virtù della (8), 



G = T g{n)!*V<p{n)V\ , H = £ Hn)qV<p(n)Y\; 



n=l L - - 1 n=l L — 1 



e, dopo applicazione della U, 



g (x) = f g (n)K\~xcp (») 1 , DC (x) = A («) cj [xcp (nfì . 



È questo il tipo delle serie studiate da Tchébychew. E però si vede come 

 sia sempre possibile riannodare al tipo stesso le serie generali, precedente- 

 mente considerate » . 



(') Sull'inversione delle identità aritmetiche (Giornale di Battaglini, voi. XXIII). 



( 2 ) Ueber eine besondere Art von Umkehrung der Reihen (Giornale di Creile, voi. IX). 



( 3 ) Note sur différentes séries (Giornale di Liouville, voi. XVI). 



