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Matematica. — Sitile normali doppie di una superficie alge- 

 brica. Nota di Mario Pieri, presentata dal Socio De Paolis. 



« La ricerca del numero delle normali doppie di una superficie generale 

 dell'ordine n, può nel seguente modo ridursi a quella del numero delle coin- 

 cidente che hanno luogo in una corrispondenza (a, a',/?) tra gli elementi di 

 una forma fondamentale di 2 a specie. 



« Prendiamo ad arbitrio nello spazio un piano TI ed un punto 0 , e deter- 

 miniamo prima il numero delle coppie di piani tangenti alla superficie, che 

 chiameremo S n , i quali si tagliano secondo una retta di 77, ed hanno i punti 

 di contatto allineati con 0. Per una retta fi di fi passano n(n — l) 2 piani 

 tangenti ad S„ ; le rette che uniscono i loro punti di contatto con 0 incon- 

 trano complessivamente la superficie in altri n(n — l) 3 punti, e i piani tan- 

 genti alla superficie in questi punti determinano sopra fi altrettante rette v : 

 co.-icchè una retta fi individua n(n — l) 3 rette r, e reciprocamente. I piani 

 tangenti ad S n che possono condursi per tutte le rette fi di un medesimo 

 fascio F inviluppano il cono tangente ad S„ che ha il vertice nel centro di 

 quel fascio; e i raggi progettanti da 0 la curva di contatto di questo cono 

 generano un nuovo cono dell'ordine n(n — 1). La sviluppabile tangente ad S„ 

 lungo tutta l'intersezione di questo secondo cono con S„ è della classe ìi 2 (n — 1) ', 

 e si spazza nel cono tangente di classe it(n — l) 2 , ed in un'altra sviluppabile 

 di classe n(n — l) 3 , la quale è segata dal piano fi secondo una curva della 

 medesima classe, che è l'inviluppo delle rette v corrispondenti ai raggi fi del 

 fascio F. Per un punto di fi passano adunque n{n — coppie di rette fi 

 e v corrispondenti. 



« Kispetto alla corrispondenza ora stabilita fra le rette del piano // 

 avremo pertanto: 



u = u =§ = n(n — l) 3 . 



« Tale corrispondenza possiede inoltre un inviluppo di rette unite ge- 

 nerato dalle tracce su fi di tutti i piani tangenti ad S„ che passano per 0. 

 Sopra ognuna di queste tracce coincidono due rette fi, v corrispondenti; e la 

 posizione limite verso cui tende il punto d'incontro di due rette fi , v corri- 

 spondenti, allorché queste si avvicinano indefinitamente ad una tangente / 

 dell'inviluppo imito, è la traccia su fi della retta condotta nel piano 0/ 

 per il punto di contatto di questo piano con la superficie S„ , secondo la dire- 

 zione coniugata (nel significato del Dupin) della congiungente quel punto di 

 contatto col punto 0. Il luogo di questi punti limiti è la curva d'interse- 

 zione del piano li con la sviluppabile osculatrice alla curva di contatto del 

 cono tangente ad S„ che ha il vertice in 0. 



« Abbiamo così tutti gli elementi necessari per determinare il numero 



