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delle rette unite staccate della corrispondenza in quistione , mediante la for- 

 mula data dal Zeuthen ('); e cioè, oltre i valori di a, «',/?, i numeri: 



Ó=n(n—IY, y = n(n^l)(2n—3), 



che sono rispettivamente la classe dell'inviluppo delle rette unite e l'ordine 

 della curva luogo dei punti di concorso delle rette corrispondenti infinita- 

 mente vicine. Osservando infine che il numero delle rette unite staccate ci rap- 

 presenta il doppio del numero delle coppie di punti sopra S„ allineati con 0, 

 e nei quali la superficie stessa è toccata da piani che si tagliano sopra TI , 

 ne inferiamo, detto x il numero di quelle coppie: 



2x = Zn{n — l) 3 — n(n— l) 2 — n(n — Ì)(2n— 3), 

 • # = !^(»— l )\%n* — Qyi-\-l\. 



« È poi facile rincontrare che questo risultato non sofie modificazioni nel 

 caso speciale che il punto 0 si supponga scelto arbitrariamente sul piano II. 

 Da un punto 0 di II risultano pertanto individuate x rette g del medesimo 

 piano, mentre ogni retta g determina evidentemente \ n{n — l) 2 \n(n — 1) ? — lj 

 punti 0. Inoltre, presi a piacere un punto P ed una retta t di 77, ogni piano <P 

 condotto per t interseca S„ secondo una curva, nei punti della quale la super- 

 ficie stessa è toccata dai piani di una sviluppabile della classe n(n — 1). 



« Per le n(n — 1) intersezioni del piano fi con gli n(n — 1) piani di questa 

 sviluppabile che passano per P possono condursi in tutto altri n(n — 1) 

 \n(n — l) 2 — lj piani tangenti ad S„, e i punti di contatto dei medesimi deter- 

 minano con la retta t altrettanti piani *P del fascio t. Viceversa, un piano *P 

 è dato dallo stesso numero n(n — l)\n(n — l) 2 — lj di piani CP; talché si 

 hanno in tutto 2 n(n — 1) \n{n — l) 2 — lj coincidenze di piani corrispondi <t>, *P, 

 così distribuite : 



1°) n(n- — 1) coincidenze sono assorbite dal piano TI , a motivo delle 

 n(n — 1) tangenti della sezione di II in S )( che passano per P; 



2°) 4n(n — l)(n — 2) lo sono dai piani del fascio che vanno ai punti 

 di contatto dei piani stazionari passanti per P ; 



3°) le altre coincidenze hanno luogo negli y piani del fascio, ciascuno 

 dei quali contiene una coppia di punti di S„, nei quali questa superfìcie è 

 toccata da due piani intersecantesi secondo una retta situata in 77 e passante 

 per P : ognuno di questi piani equivale a due piani uniti. Abbiamo pertanto : 

 2 n(n — 1) \n(n — l) 2 — 1 j = n{n— 1) + 4 n(n — 1) (n— 2)-f 2 y 

 y = ^± n ( ll — l))2n 3 — 4n 2 — 2» + 5|, 

 e questo numero y esprime la classe della curva inviluppata dalle rette g 

 di i7, che in virtù della nostra costruzione corrispondono ai pimti 0 di una 

 retta t. 



(!) Comptes-rendus de l'Àe. des scicnces, giugno 187-1 - o anche Clebsch-Lindemann, 



Wovlesungen iiler Geometrie, pag. 387. 



