puisse imaginer consiste en ceci : — chaque coefficient est ime fonction du 

 plus grand conimun diviseur de ses indices. Ainsi, étant donnée la forme 

 quadratique 



(1) 



hi 



à n variables, il est facile d'en trouver une forme canonique. Il faut imaginer, 

 avant tout, une fonction /, telle que l'on ait, pour toute valeur enti ère de n, 



V{n) = f{a) + f(b) + f{c) + , (2) 



«, b, c, ... étant tous les divisemi de n. Si l'on ordonne X par rapport à 

 la nouvelle fonction, et si l'on pose 



y<i = -f- x%i -f- Xzi -j- , (3) 



la forme considérée devient 



Y = /(l)^i 2 + + myi. + ...- + f{n)yJ . 



Remarquons, en passant, que, en vertu de la loi d'inertie des formes qua- 

 dratiques, il y a autant de termes avec un signe donne, dans toute forrne 

 canonique de X, qu'il y en a dans la serie 



f(l), f(2), /(3), fin). 



Cette remarque trouvera son utilité dans d'autres recherches. Quant au système 

 de substitutions linéaires, moyennant lequel on passe de X à Y, on l'obtient 

 par inversion de l'égalité (3), ce qui donne 



x H = fi (1) y^ + fi (2) y 2H -f /t (3) y 3 , + (4) 



Eappelons que la fonction ,« (x), égale à ( — 1) T lorsque x est le produit de r 

 facteurs premiers, inégaux, est égale à l'unite pour x—1, et à zèro dans les 

 autres cas. D'après cela, la formule (4) revient à 



x-4 = ì/t y%i — y$<i -\~ ye-i — yv> ~\~ yw> 



« Les systèmes de substitutions (3) et (4) sont évidemment imimodulaires, 

 et, par suite, les invariants des formes X et Y sont égaux entre eux. Il en 

 résulte immédiatement 



F(l, 1) F(2, 1) F(3, 1) F(n, 1) 



F (1, 2) F(2, 2) F(3, 2) T(n, 2) 



F(l, 3) F(2, 3) F(3, 3) ¥(n, 3) 



F (1, n) F (2, vi) F(3, n) F(^, n) 



Nous avons ainsi une nouvelle démonstration, assez curieuse, du théorème 

 de Smith et Mansion. On parviendrait à un résultat plus général en rem- 

 placant la forme (1) par la suivante 



y F (e, . s A x, -.x> . 



=/(l)/(2)/(8) ..../(»). 



