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Nous supposons que la fonction G, differente de zero polir les valeurs entières 

 de la variable, dépende de g par une relation telle que (2), et qu'elle vérifie 

 le condition 



G(*)G(y) = G(^), (7) 

 pour toutes les valeurs entières de x et y . Il est évident que le coefficient 

 de & £j est la somme de toutes les quantités analogues à 



où r et s divisent respectivement i et j . Si a, /S, y, sont les diviseurs 



communs de i et /, il est clair que la somme dont il s'agit équivaut à 



Z m G (fy G ^ = G K (i , ;) , 

 ponrvu que l'on pose 



W G (a 2 ) ^ G (è 2 ) T G (e 2 ) ^ 

 Par conséquent, si l'on représente par £ N le produit G(v) ? v , on voit que la 

 forme X se cbange défmitivement en 



Z = lK(f,j)^. (8) 

 Par exemple, les substitutions 



donnent à X la forme (8), dans laquelle on suppose 



KM= m + m + M + 



« On trouve, en outre, una infinité de substitutions, qui n'altèrent pas X, 

 en supposant que G soit la fonction indicatrice d'un groupe ouvert. Dans cette 

 lrypothèse, si l'on exige que la condition (7) soit remplie, on a nécessaire- 

 ment G 2 = l, et la fonction K ne diffère pas de F. Si, par exemple, on prenci 

 pour G la fonction indicatrice X du groupe 



1, 4, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 24, 25, 26, 32, , 



dont les éléments sont tous les produits d'un nombre pair de facteurs pre- 

 ruiers, égaux ou inégaux, et si l'on représente par « (n) le nombre des décom- 

 positions de n en un produit de deux nombres premiers entre eux, on recon- 

 naìt que les substitutions 



x % = | <» (1)ìm -\- o) (2) <r 2v + M ( 3 ) % + ••■• | * ( r ) 

 n'altèrent pas la forme X. 



« Étudions, de méme, l'effet des substitutions 



w " = H (l)^ + H (f) ?r& + H (T) Wc + ' (9) 



