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li. Reciprocità polari. 



» 9. Nel caso della reciprocità lineare le due curve r„+i sono due 

 coniche. Può accadere che queste due coniche coincidano; allora la recipro- 

 cità suol chiamarsi reciprocità polare ed ogni punto corrisponde alla sua 

 polare rispetto alla conica. 



« Possiamo ora domandarci se, oltre la reciprocità ordinaria, esistono altre 

 reciprocità birazionali nelle quali ad ogni punto corrisponde la sua retta po- 

 lare rispetto a una curva C„ +1 di ordine u-\-l. Tali reciprocità, se esistono, 

 si potranno chiamare reciprocità polari. 



« Ammessa l'esistenza di una tale reciprocità, ai punti x' (centri di fasci) 

 del piano IT corrisponderanno rispettivamente le loro curve prime polari ri- 

 spetto alla C„ +1 . 



« Supponendo che la C n+ 1 abbia <* 2 punti doppi, « 3 tripli .... o. n %-pli 

 il suo genere è 



„ n(n—\\ y r (r+l) 



« Siccome ogni punto (r-j-l)-plo per la C n +i è r-uplo per tutte le sue 

 prime polari, ed è perciò un punto fondamentale r-uplo della reciprocità, 

 deve essere 



I 



r(r-f-l) n(n-\-S) 



— <Vr-4-l „ 



Perciò 



ossia 



n {ri — 1) — n (» + 3) j + 2 



p = 2(l — n) . 



« Se vogliamo che la C n+1 non si spezzi deve essere p 5: 0, cioè non è 

 possibile altro che il caso n = l, che corrisponde alla reciprocità polare or- 

 dinaria. 



« Se poi ammettiamo che la G n +i possa spezzarsi il numero massimo 



fi ( ii _i_ \ \ 



di punti doppi che può avere è 1 — -. Per le considerazioni precedenti 



Li 



deve dunque essere 



n(n + 3) n(n+l) 

 2 _ 2 



ossia 



n Oltre il caso n = l è dunque possibile il caso n=2. Allora devono 

 esistere tre punti fondamentali semplici per la trasformazione, e quindi è a 2 =3. 

 La cubica C 3 si spezza allora in tre rette ; prese queste per assi coordinati, 

 la C 3 ha per equazione 



X\ x% Xz — 0 i 



