— G6 — 



e le formule della reciprocità sono 



U i — Xì X 3 X\ = U 2 U 3 



u'ì = X 3 Xi Xì = u' 3 tc'i 



u' 3 = X\ Xì X 3 = ! m' 2 . 



III. Reciprocità nelle quali ogni retta passa per il suo polo. 



« IO. Amettiamo che esista ima reciprocità, nella quale ogni punto x 

 di II giaccia sulla retta corrispondente u' di IT, e vediamo a quali condi- 

 zioni deve soddisfare. 



« Al punto x j considerato come centro di un fascio nel piano IT , cor- 

 risponde ima curva C„ luogo dei poli di tutte le rette condotte per x e che 

 quindi passa anche per il punto x stesso. È inoltre evidente che la C„ non 

 può incontrare una retta uscente da x altro che in x e nel polo della me- 

 desima (che è imico) e per conseguenza deve essere una conica. 



« E facile poi vedere che la conica C 2 corrispondente al punto x tocca 

 la retta v! polare di x nel punto x stesso. 



« Da quanto abbiamo detto risulta: 



«Le reciprocità nelle quali ogni retta passa per il suo 

 polo, non possono essere altro che reciprocità quadratiche. 



« 11. Prendendo per vertici del triangolo fondamentale i punti fonda- 

 mentali di una reciprocità quadratica, le formule più generali della recipro- 

 cità stessa sono 



u'ì = ai Xì x 3 -}- bi x 3 Xi -j- Ci Xi x 2 

 u'ì = «2 x 3 Xi -f- bì Xi Xì -f- d Xì x 3 

 u' 3 = a 3 Xi Xì -\- b 3 Xì x 3 -f c 3 x 3 Xi . 

 « Se vogliamo che in ima tale reciprocità ogni retta passi per il suo polo 

 deve essere identicamente 



^~ u\ Xi = 0 , 



e perciò 



bi = Ci = b 2 = c-ì = b 3 = c 3 = 0 



di -J- «2 + «3 = 0 . 



» Dunque le formule della reciprocità richiesta sono 



h i = ai Xì x 3 

 u'ì = a 2 x 3 Xi • 



U 3 = tt 3 X i Xì 5 



colla condizione 



«i + di -J- « 3 = 0 . 

 « Da esse si ricavano le formule per il passaggio dalle it alle x , che sono 



X\ = «i u'ì u' 3 

 Xì = == ai u 3 u i 

 x 3 = a 3 u i u ì . 



