omaloidico devono avere un altro punto comune, il quale è doppio pol- 

 la P,;. + i. Questa è dunque formata da un piano e da un cono quadrico elio 

 lo taglia secondo una conica C. Presi per vertici u x = 0, u 2 = 0, u 3 — 0 del 

 tetraedro fondamentale tre punti della conica C e per punto ^ 4 =0il veitiee 

 del cono, l'equazione della P a+1 può mettersi sotto la forma 



(x% X% — J- Xq X\ — j- X\ xì) Xi = 0 . 



« Perciò le formule della reciprocità sono 

 u\ = Xi (x 2 4~ x 3 ) 



U 2 = Xi {Xz ~\~ Xi) 

 U 3 = Xi {X\ — j~ x 2 ) 

 ti i = X 2 X3 X 3 X\ ~j~ X\ x%< 



* Da queste si ricavano le inverse 



Xi = 2u'i (u' 2 -f- u 's — u 'ì) 

 x 2 = 2u'i (u'z — u' 2 ) 

 x 3 = 2u'i -\- u' 2 — u'-ì) 



Xi = 2 (u' 2 u' 3 -f- v'z v'\ + u\ u' 2 ) — («V -f- u'S -f- w' 3 2 )- 



r(r-f-l) 



* 9. Se è ,"=3, deve essere 2 ^ = 6 ossia ogni sezione piana 



u 



della superficie P ;J . +1 è del quarto ordine ed ha sei punti doppi, cioè è for- 

 mata da quattro rette che costituiscono un quadrilatero completo. La P,,.+i deve 

 dunque spezzarsi iu quattro piani. Presi questi per piani fondamentali, l'equa- 

 zione della superficie P^ +1 è 



£Ci X% %z £4 — 0 



e le formule della reciprocità sono 



% L — tJC<Z &3 



ti 2 ; 3 ^4 ^ 1 



ti 3 OC ± CC\ t/s-2 



IL 4 CC 1 00 2 CC '3« 



k Da queste si ricavano le inverse 



X 1 = U 2 XI 3 4 



r r r 



X 3 =^ ti i M 1 ti 2 

 Xi = u\ ti 2 u' 3 . 



III. Reciprocità nelle quali ogni piano passa per il suo polo. 



« 10. Supponiamo che esista una reciprocità (/(, v) nella quale ogni punto 

 giace nel piano corrispondente. 



« I piani v che passano per una retta r' dello spazio S' hanno per 

 poli i punti di una curva C,„ che deve incontrare ogni piano v' in v punti. 

 Affinchè ciò accada è necessario che v — 1 piani v\ , v' 2 , . . . , v' s -i per 

 la r' abbiano per poli altrettanti punti X\ , x 2 , x 3 della r'. 



