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Considerando allora r' come una retta r dello spazio S ai suoi punti corri- 

 spondono i piani tangenti a una sviluppabile <?,,.. Per un punto x di /• si 

 possono condurre alla <7„. i piani tangenti u\, v\ , . . . , v \-i e il piano po- 

 lare di x. Dunque: 



« Le reciprocità nelle quali ogni piano passa per il suo 

 polo sono (v , r). 



« È facile vedere che il piano v\ incontra la r' nei punti a\ , x 2 , . . . , 

 a\_! ed in uno infinitamente vicino ad^ Xì. Se ne deduce : 



« La superficie corrispon- « La superficie (invilup- 



dente ad un punto x di S' tocca po) corrispondente ad un pia- 

 in x il piano polare di#con- no v di S' tocca il piano v nel 

 siderato come appartenente polo di o considerato come 

 allo spazio S. appartenente allo spazio S'. 



« Una cm-va C, corrispondente ad una retta r' di S' deve essere razio- 

 nale, senza punti doppi e senza cuspidi, senza tangenti stazionarie e senza 

 piani osculatori stazionari. Infatti se esistesse un punto doppio o una cuspide, 

 il piano condotto per esso e per la r 1 taglierebbe la C v in v -f- 1 punti. Se 

 poi esistesse un piano osculatore stazionario, ovvero una tangente stazionaria, 

 la cm-va C v avrebbe quattro punti k\ , z 2 , s 3 , £ 4 infinitamente vicini sul'piano io 

 osculatore stazionario, ovvero osculatore nel pvmto di flesso, e quindi la su- 

 perficie (inviluppo) corrispondente a io toccherebbe i quattro piani infinita- 

 mente vicini r'Z\ , r'z 2 , r's 3 , r'z 4 , cioè possederebbe un piano doppio fuori 

 dei piani o delle sviluppabili principali ; e ciò non è possibile se la super- 

 ficie doveva costituire un sistema omaloidico. 



« Chiamando ^ il numero di cuspidi ed « il numero di piani osculatori 

 stazionari di una curva gobba di genere zero, di ordine v e di rango r e 

 priva di tangenti stazionarie, è noto che 



a = 3 (r — 2) — 2v . 

 « Se deve essere /? = 0 , a = 0 , si trova 



r=2(r — 1) 



e quindi 



0 = 4(v — 3) 



ossia v = 3. Dunque : 



«Esclusi i sistemi nulli, le reciprocità nelle quali ogni 

 piano passa per il suo polo, non possono esser altro che re- 

 ciprocità (3, 3). 



«11. È facile trovare le formule di una trasformazione (3, 3) nella 

 quale ogni piano passa per il suo polo. 

 « Tre connessi quaternari 

 a x ti a — 2 din u'i x h , b x u'$ = 2 b l}l u\ x h , c x u\ = 2 c ik li t x h 

 (e, £=1,2,3,4) 



