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Matematica. — Sopra una serie <1> superficie rappresentabili 

 punto per punto sopra un piano. Nota I. di Pietro Visalli, pre- 

 sentata dal Socio Cremona. 



- 1. Sieno a. a' due piani Cremoniani isografici di grado n, e dei punti 

 fondamentali di questi due piani, che dirò punti C, D', ve ne sieno X\ (ri- 

 spettivamente x\) semplici, cc 2 («2) doppi, .... , x f /*-pli {x'r' / '-pli). 



« Sia data inoltre una stella Q in corrispondenza Cremoniana reciproca 

 di grado m col piano a ('), e vi sieno nella stella, y\ piani fondamentali 



semplici, y\ doppi, y' s ', s'-pli, e nel piano a y x punti semplici, y s doppi 



// s s-pli. In quel che segue, supporrò che questi punti fondamentali di o\ tfhe 

 dirò S, non coincidano con i punti C. Si hanno le note relazioni ( 2 ) : 



2r* x r = 2r' 2 x' r > = » 2 — li 2rx r = 2f x' r ' = 8 (n — l) 



2 S * y s = is" y' s , = m* — 1 , 2sy s = 2s' y' s > = 3 (m — 1) . 



« Le rette, che uniscono ogni punto di a col corrispondente di a', for- 

 mano una congruenza 2={a, a') dell'ordine n-\-2 e della classe ^( 3 ), e fra 

 le rette di questa congruenza ed i piani di Q vi è una corrispondenza uni- 

 voca. Dando ad m e n valori arbitrari, si ottiene ima numerosa serie di su- 

 perficie, le quali sono il luogo dei punti ove le rette di 2 segano i piani 

 corrispondenti di Q. 



« In questa breve Nota mi propongo lo studio di queste superficie, che 

 dirò ip, delle quali il sig. Jung ha dato la genesi ( 4 ). 



« 2. Le rette di 2, che passano per un punto D' fondamentale /-pio 

 di a', formano un cono d'ordine w, al quale corrisponde in Q un cono della 

 classe r'm ; quindi la superficie \p ha un punto r'wz-plo in D'. 



« Tenendo conto che per il vertice della stella Q passano n-\-2 rette 

 di 2, si può dire: Sulla superficie rp vi sono x\ punti w-pli, 

 <■', 2m-pli, — , x'r' r'm-pli ed un punto {a -f- 2)-plo. 



« Se S è un punto fondamentale s-plo di e, alla retta SS' di 2 cor- 

 rispondono tutti i piani, che inviluppano il cono della classe s di Q, che 

 corrisponde ad S: dunque nella congruenza abbiamo y\ rette fondamentali 

 semplici, y 2 doppie, .... , y s s-ple, le quali rette, che dirò s, sono rispettiva- 

 mente rette semplici, doppie s-ple della superficie^. 



<* Tutte le rette di 2, che passano per un punto C fondamentale r-plo 



( J ) Jung, Sulle superficie generate da due sistemi Cremoniani reciproci di gradò in. 

 Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, 1885, p. 762. 



( 2 ) Cremona, Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane. Accademia di Bo- 

 logna, serie IT, Tomo 5. 



( 3 ) Hirst, Oa Gremonian congrue nr.es. Proceedings of the London Math. Society, voi. XIV. 



( 4 ) Jung, 1. c. Nota UT, pag. 810. In questa Nota il sig. Jung fa conoscere che la 

 superficie if> ha un punto (»-)-2)-plo in Q, e che nel caso in cui m=n=l, essa ò del 

 quinto ordine. 



