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punto S s-plo, e semplicemente per i punti P ; sicché due di esse, oltre che 

 nei punti fondamentali si segano in altri. 



(m-{- w + 1) 2 — 2r 2 x r — 2s 2 y s — + + = 



punti, che corrispondono a quelli ove si segano le due sezioni piane. Il genere 

 delle curve a è 



p = \ ( m -j_tt)(m-f-rc— 1 )— \ 2r (r—Ì)x r — \ 2s^s—l) y s =( m+l)(w-j-l )— 3 



e poiché le sezioni piane sono dello stesso genere delle loro immagini a, è 

 necessario che esse, oltre ai punti doppi, tripli, s-pli nei punti ove segano 

 le rette fondamentali multiple di i/;, abbiano altri 



cl = \ {mn -f- m-\-n) {mn -\-m-\-n — 1) — — (m — 3) -|— 1 



punti doppi. Quindi : 



« La curva doppia di xp è una curva gobba dell'ordine ci. 



« 7. Abbiamo detto che ad un punto C fondamentale r-plo di a, corri- 

 sponde in xp una curva (p r d'ordine r, la quale essendo razionale k\{r — 1) 

 (r — 2) punti doppi, per i quali passa la curva doppia. Se y è il piano della 

 curva <fr, questo piano sega xp secondo un' altra curva <p' dell'ordine (m-\-l) 

 (/a — |— 1) — {— 1 — r. Tra il piano y ed il piano a esiste una corrispondenza 

 (n-{-2, 1) di grado n-\-\ ; nel piano a vi sono i pimti fondamentali C ed 

 altri n punti fondamentali semplici, che sono quelli ove le rette di 2, che 

 stanno sopra y incontrano a ; ma mancano le curve fondamentali e perciò 

 in y non vi sono punti fondamentali. Ad un punto della curva fondamentale 

 <f r corrisponde un punto infinitamente vicino a C ed altri ri -j- 1 punti con- 

 giunti, il luogo dei quali è la curva congiunta a C di ordine r (n +1), 

 che passa con r 2 -f- 1 rami per C ('). Le rette, che uniscono i punti di 

 questa curva congiunta a C, con i corrispondenti della curva (p r , formano 

 una superficie dell' ordine r (n -f- 1) -j- nr, alla quale corrisponde in Q un 

 cono della classe mr (n -j- 1). I punti, ove le rette di questa superficie, se- 

 gano i piani tangenti corrispondenti del cono , formano un luogo d'ordine 

 {n -f- 1) r ~\-nr -{-mr (n -j- 1), il quale è composto delle a rette di 2 situate su y, 

 ciascuna contata r volte, e di una curva gobba d'ordine r (n -f- 1) (m -}- 1). 



« Poiché la curva congiunta a C passa con r 2 -f- 1 rami per C ; si ha 

 che sulla curva <p r vi sono r {n -f- 1) (m -(- 1) — (r 2 -f- 1) punti, per ciascuno 

 dei quali passa una retta di 2, non passante per C, ed il piano che ad essa 

 corrisponde in Q. Per questi punti, che sono punti doppi di xp, passa la 

 curva (f', la quale sega tj> r in altri r -j— 1 punti, che corrispondono ai punti 

 infinitamente vicini a C, per i quali passa la sua immagine, che è sempre 

 dell'ordine m -f- n -{- 1. 



( l ) Vedi la mia Memoria citata. 



