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x\ curve piane d'ordine aJ% d'ordine 2 (m-\- 1) , x',' 



d'ordine / (m-\-l). 



« Oltre alle rette fondamentali e, ed alle rette «, la superfìcie i/^ con- 

 tiene altre rette semplici, che sono quelle per le quali passano tre piani 

 corrispondenti. Projettando dal vertice della stella Q, le rette di 2, si ot- 

 tiene ima stella, che dirò Q,, la quale è in corrispondenza (/«-{- 2, 1) di 

 grado m(n-\-l) con la stella Q. Vi sono perciò m\n~\-l) -\-n-\- % -\- ] 

 = {m-\- 1) {>i-\- 1) -f- 2 piani di Q 1? ciascuno dei quali coincide con uno 

 degli /^ — j— 2 suoi corrispondenti; cioè vi sojio (n-\- 1) (m -j- 1) -J- 2 rette 

 che dirò p, le quali giacciono su i^i, eper ciascuna delle quali 

 passano tre piani corrispondenti. 



« Per il vertice Q della stella Q, passano n rette di 2 ; quindi Q è 

 un punto w-plo di xp x ; e similmente si vede che S ed S' sono punti rispet- 

 tivamente »m-plo ed ?»-plo di \p x . Col solito metodo si ottiene che questa 

 superficie rpi è dell'ordine (m -f- 1) (/? -f- 1) — 1. 



« 2. La superficie xp 1 si può rappresentare punto per punto sopra un 

 piano e, che supporremo essere correlativo alla stella S, e quindi in cor- 

 rispondenza Cremoniana reciproca di grado m (rispet. n) con la stella Q 

 (rispet. S'). 



« In tal modo ogni punto M di £, è immagine di quel punto di ove 

 si segano i tre piani, che corrispondono ad M (uno in ogni stella), e viceversa. 



« Tutti i pimti di una retta p di ip l hanno per immagine quel punto P 

 di f, che corrisponde ai tre piani, che passano per p; e similmente alle 

 rette c ed a di ip corrispondono punti di t, che dirò C ed A. 



« Se un punto di e descrive una retta, il suo corrispondente in xp u de- 

 scriverà una curva gohba dell'ordine m-\-u-\-l e di genere zero, la quale 

 è il luogo dei punti comuni a tre piani corrispondenti, che appartengono ri- 

 spettivamente al fascio di S, al cono di classe n di S' ed al cono di classe m 

 di Q, che alla retta di e corrispondono. 



« Le curve immagini delle sezioni piane di xp x sono dell'ordine /// -j- a -j- 1 , 

 passano semplicemente per i punti P, con r rami per ogni punto A r-plo 

 (cioè immagine di ima retta r-pla a) e con s rami per ogni punto C s-plo; 

 sicché due di esse si segano fuori dei punti fondamentali P, C, A, in altri 

 (m + n — 1 ) s — 2r> x r — 2 s 2 y s — (m-\-l) ) — 2 = ( w+1) 1)— 1 

 punti, che sono i corrispondenti a quelli ove si segano le due corrispondenti 

 sezioni piane. 



« Tenendo conto che una sezione piana è dello stesso genere della sua 

 immagine, si trova che la curva doppia di xp 1 è una curva gohba dell'ordine 

 | (mn — 1) (mn + 2m + 2n — 2) (')• 



(') La curva (lupaia passa rispettivamente con y mn (mn — 1), \m(m — 1), ^n(n — 1) 

 rami per i vertici delle stelle S , S', Q. 



