e) 



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« La quantità w dovrà essere radice della equazione : 

 0 Y, Y t ...Y n 



Y, Yn-j-we,, Y, 2 -f-w<?i2 ... Y^-fwCi,, 

 Y 2 Y 21 -j-tótf 21 Y22-f-c.Jf.22 ... Y 2n +<»<? e „ 



Y„ Y nl +a)t? n i Y n2 -|-<»C„2 ... Y n n+«<?«»i 



0, 



la quale chiameremo equazione algebrica caratteristica della equazione a de- 

 rivate parziali (I) nella varietà di elemento lineare ds per la sua importanza 

 in questa teoria e perchè il suo primo membro è una espressione invariabile 

 rispetto ai coefficienti Y,. ed a rs . 

 « Posto 



X ft =2 r a f hY r 



X/ ( ; ; = ^Vs Y rs Ufh a S k 



ovvero, come si deduce dalle (1), 



X, ft = i(f 5 + ^Ì-2'« W Y, 

 \aXh aXh J i 



con 



n dcihi 1 daui 



dx H 



da 



hit 



d.Xh dx-i 



alle equazione (e) può anche darsi la forma 



0 X x X 2 ... X„ 



Xi X n -fw«n X l2 -\-(oa lz ... Xin-^-wam 



X 2 X 2 i— j-oj« 21 X 22 -j-«ft 22 ... X 2) ,-j-w« 2>1 



X„ X nl +<»4ii X >l2 -j-M«„ 2 ../X^-J-wfl,,,, 



= 0 



che potrebbe dirsi reciproca della (c?) e il cui primo membro ha la stessa 

 proprietà di invariabilità che quello di quest'ultima. Per tale proprietà i coeffi- 

 cienti delle diverse potenze di w nello sviluppo della equazione algebrica carat- 

 teristica sotto la forma (e) od (e{) dànno n — 1 espressioni invariabili di 

 1° ordine rispetto ai coefficienti della espressione di ds 2 e della equazione a 

 derivate parziali (I). 



« Le radici della equazione algebrica caratteristica sono reali e si pos- 

 sono ripartire in tanti gruppi Gì , G 2 . .. G/, ... , il gruppo Q ìt contenendo tutte 

 le radici, che hanno lo stesso valore oi h e il cui numero indicheremo con m h . 

 Il sistema di equazioni algebriche lineari (II) ammette per co— ooj, m h sistemi 

 di soluzioni indipendenti, che indicheremo con lf r fc, , S r , n t > — Sempre nella 



dg h 



ipotesi ammessa della esistenza del sistema di integrali <?, , ^ 2 , .. (.'„_! le 



dx r 



dovendo esse pure soddisfare ad un sistema di equazioni della forma (II), 



