il sistema stesso si ripartirà in tanti gruppi di m h integrali Q hl , g h2 , .. cor- 

 rispondenti a ciascun gruppo G h di radici della equazione algebrica caratte- 

 . . . dQhi 



nstica in modo che le -. — soddisfaranno alle (II), in cui sia posto co=w n 



e dato a g un valore conveniente. Siccome poi indicando con S rh e Sm due 

 sistemi di soluzioni delle (II) corrispondenti a due gruppi distinti G h e G; f 

 di radici della equazione algebrica caratteristica si ha dalle (II) stesse: 



HI) S rs C rs Brìi SsH = 0 , 



ne viene che, posto 



3) H rfc; = 2 S c rs £ sl; . ? 



il sistema di equazioni che risulta della (I) e delle 



sarà completo poiché ammetterà per integrali communi gli n — m h — 1 inte- 

 grali q h , che corrispondono ai gruppi differenti da G k di radici della equa- 

 zione algebrica caratteristica. Per egual ragione sarà completo il sistema di 

 equazioni, che risulta della (1) e di due gruppi (I h ) e (I, £ ). 



« Supponiamo ora che siano completi tutti i sistemi di equazioni com- 

 posti nel modo ora indicato. In tal caso lo sarà pure ogni sistema di n — m h 

 equazioni, che risulta della (I) e di tutti i gruppi eccettuato uno deter- 

 minato (I;,). Indicando con tp hl , (f hi , .. m h integrali indipendenti di un tale 



sistema, le — - sono soluzioni del sistema di n — m h equazioni algebriche 



lineari, che risulta della (I) e di tutti i gruppi della forma 



2 r R rlt . Sr — 0 (i — 1, 2, .. m k ) 



eccettuato quello, che corrisponde a k—h, e sono quindi funzioni lineari delle 

 quantità g rhi (i=l , 2 , .. m,h), che per la prima delle (II) e per le (III) 

 costituiscono un sistema di m h soluzioni indipendenti dello stesso sistema di 

 equazioni. Per questa ragione e per le (III) due integrali (p h . e cp^ della (I), 

 per h differente ha k , sono ortogonali fra di loro nella varietà di elemento 

 lineare ds. Ad ogni gruppo di integrali q lH , <f h . 2 , •• se ne può poi sempre sosti- 

 tuire un altro Q hi , ^ , ... , le essendo tali funzioni delle tp^ , che soddi- 

 sfino due a due alla medesima condizione di ortogonalità. Più precisamente 

 si ha il seguente 



« Teorema: Le condizioni necessarie e sufficienti perchè 

 una equazione lineare ed omogenea a derivate parziali di 

 1° ordine e ad n variabili X\ ... sc n ammetta « — 1 integrali 

 ortogonali fra di loro due a due in una varietà, di cui quelle 

 variabili rappresentano le coordinate, e che è definita per 

 mezzo del quadrato del suo elemento lineare, consistono in ciò 



