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posto 



== v.x Y — = ' ' 



0 X, x 2 x 3 



j^. Xi Xn Xi2 X13 



Xj Xoi X>2 X23 



X3 X31 X32 X33 



« Le condizioni perchè la equazione (£) abbia le radici eguali sono d;ie. 

 che possono mettersi sotto la forma 



cM 



(l0) = r,,^X,*-Y,* • 

 indicando con a» una indeterminata, che rappresenta il valor comune delle 

 due radici della (£). Verificate queste condizioni, la equazione a derivate par- 

 ziali (I) è sferica nella varietà di elemento lineare ds e ad ogni suo inte- 

 grale ne corrisponde un altro, che gli è ortogonale in questa varietà. 



a Se la equazione (i) ha disuguale le sue due radici w'\ , es s . indicando 

 con M,- il complemento algebrico di X,. in M si ha 



Ern = »/, {AY r - 2 t Y t 2 S c sr % st ) + ~ (MY, — M,.) (li — 1, 2) 

 e per conseguenza 



8m = 2* a s> - H s/1 = «„ (^X, — % Y ( X j ) + i (MX, — 2, M, ) ( /*= 1 , 2 ) . 



In questo caso per la esistenza di due integrali della equazione (I) ortogo- 

 nali fra di loro nella varietà ' di elemento lineare ci s basta sia verificata la 

 equazione unica, che si ottiene dalle (ì'ì'm) od (-Q",,;,) facendovi h= 1 , k = 2 

 e per le S r n , H,/ ( ponendo i valori dati sopra, mentre le equazioni (12 ftSi ) non 

 hanno più luogo. Verificata quella condizione le quantità S r \ e 5 rì sono pro- 

 porzionali alle derivate rispetto ad sc r di due funzioni Qi , o 2 . che sono ap- 

 punto gli integrali ortogonali cercati. 



« Ritornando al caso di n qualunque, se si suppone che sia X,- = . 



ci x r 



il problema, che trattiamo, si riduce a quello dei sistemi ortogonali nella 

 varietà di elemento lineare ds. Allora la equazione algebrica caratteristica 

 può riguardarsi come la generalizzazione di quella che, qualora la varietà 

 sia piana od euclidea, ha per radici le inverse dei raggi principali di cur- 

 vatura delle superficie £> = const. Il caso, in cui la equazione a derivate par- 

 ziali corrispondente a questo problema sia sferica, se l'elemento lineare ds è 

 quello dello spazio euclideo «a tre dimensioni, è il caso noto della ricerca dei 

 sistemi ortogonali ad un sistema di sfere concentriche; diversamente ne è 

 una generalizzazione. 



