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« Se in vece la equazione algebrica caratteristica non ha radici multiple 

 le equazioni (ì2m) ed (Sìm) prendono rispettivamente le forme 



P«,') ^rsq Qrs,q Qq H)7i H s / ( = 2 2 pqrs C pq Q pr Q qs H r h Hs7( 



2 rsq Q rSjq H q i H r 7, H sì{ = 0 , 



nelle quali i coefficienti g q , g pr , Q rsq sono quelli, che secondo la mia Memoria 

 Sui parametri e gli invarianti delle forme differenziali quadratiche (*) 

 è opportuno di considerare in vece delle derivate di 1°, 2°, 3° ordine di q, 

 perchè sono coefficienti di forme covarianti alla espressione di ds 2 . Si ha cioè 



dg_ 



— cl ' Q _ y 



Qrs,q = j i ; 2 m C h % (ttrqji Q hs -f- « sg , ft Qhr-^dsr,* Qhq) 



U/tA/y U/iA/s xÀ/thn 



d 3 g 



- Ó/OC § t 



/ da rs ji \ 



\daT — ° M akq ' h a, ' s ' i ) ' 



« È notevole che, posto 



3ct rsq — Qrs,q ~\~ Qrq,s ~\~ Qsq.r 



_ da pq ,r da ps , r . _ . . . 



G"pr,qs ^ £ v ~T ■^hkChh\ttps,h(Zrq,li Cpq,h (frs.Ti) 



al sistema di equazioni (Pm) si possono sostituire i due 



-P /iftt) ^rsq &rsq H,-; t H s /; H^i - — 0 



P Wfi) ^rspq @pr,q$ Qp ~B.qi H r 7( H s / { = 0 , 



, (»— !)(» — 2)(a— 3) . .. ,. . ,. ' 

 di cui il primo comprende i v - equazioni indipendenti a de- 



ò . O 



• V or j- , (»— 1)(« — 2)(W— 3) 



nvate parziali di 3 ' ordine ed il secondo — - equazioni 



a derivate parziali di 2° ordine in q. Queste ultime però possono ridursi ad 

 un numero minore se si fanno delle ipotesi speciali sulla natura della varietà di 

 elemento lineare ds, il che fa vedere come il grado di difficoltà per la esi- 

 stenza dei sistemi ortogonali in una varietà non dipenda soltanto dal numero 

 delle dimensioni, ma anche dalla natura della varietà stessa. Fermo il nu- 

 mero n, la difficoltà è minima se la varietà è piana od euclidea, cioè, per 

 fare uso della classificazione delle forme differenziali quadratiche da me pro- 

 posta ( 2 ), se la forma, che rappresenta ds 2 è di classe 0, perchè allora i coef- 

 ficienti a pr , qs sono identicamente nulli e il sistema (P'' W:i ) scompare del tutto. 



( 1 ) Annali di Matematica Pura ed Applicata; serie 2 a , tomo XIV, pag. 1. 



( 2 ) Vedesi la mia Memoria, Principi di una teoria delle forme differenziali quadra- 

 tiche a pag. 137 del tomo XII, serie 2 a degli Annali di Matematica Pura ed Applicata. 



Eendicoxti. 1886 Vol. II, 2° Sem. 26 



