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h raggi (spazi lineari ad una dimensione) doppi rispettivamente per h qua- 

 driche del fascio', ed A; , B, i due punti di contatto, delle quadriche del 

 fascio, esistenti sopra S^'\ Resteranno altri m — 2h punti di contatto 



(2) Pr,P 2 ,..., P irt _ 2ft 



che saranno punti doppi di quadriche del fascio specializzate ima Tolta sola. 



"Ogni raggio Si che congiunge due dei punti A,B,P, 

 esclusi i raggi (1), appartiene alla base del fascio (F F), 

 cioè è comune a tutte le quadriche di questo fascio. Infatti, se 

 X , Y sono due dei punti A , B , P , ma non A; , B t , una quadrica P" del fascio 

 che passa per XY, non può avere questa retta doppia e quindi per essa imo 

 (almeno) X dei punti X , Y sarà semplice. Il piano S it _i tangente in X ad P" 

 è tangente a tutte le quadriche del fascio e quindi XY ha il punto Y e in X 

 un contatto bipunto con ciascuna di tali quadriche. 



«Ne discende che alla base del fascio (PP') appartengono 

 2 h spazi S m _k_i determinati dai punti (indipendenti) 



(3) Pi , P 2 , . . . , P-,n-27i > A ri , . . . , A rs , B,- i+1 , . . . , B r/j 



(ove ti r% . . . r h è una permutazione qualunque dei numeri 1,2,...//,). In 

 vero questi punti determinano imo spazio S T , che si dimostra subito, coli' aiuto 

 della proprietà precedente (e considerando r -j- 1 di essi indipendenti), essere 

 comune a tutte le quadriche del fascio. Ora , nell'omografia dei poli di un 

 medesimo piano rispetto alle quadriche F , F', gli m — h punti (3) sono uniti 

 e lo spazio S T uno spazio unito. Se fosse r < m — h — 1, in S T si avrebbero 

 più di t — j— 1 punti uniti della detta omografia e quindi dovrebbero esisterne 

 infiniti, i quali, appartenendo S T ad F , F', dovrebbero essere loro punti di 

 contatto, contrariamente al supposto. 



« Se /j = 0 si ha adunque che gli m punti di contatto sono indipen- 

 denti e determinano uno spazio comune alle due quadriche. Dimostrerò ora 

 che la prima di queste proprietà sussiste anche se h^>0. 



« 2. I due spazi S/,-! S' h -i determinati rispettivamente (ad es.) dai 

 punti Aj , A 2 , . . . , A?,; Bi , B 2 , . . . , B /t non hanno alcun spazio comune. Giac- 

 ché, se tale spazio esistesse, sarebbe comune a tutte le quadriche e unito nella 

 suddetta omografia, come lo sono gli spazi S h -i , S'k-i. I punti uniti di quello 

 spazio sarebbero quindi punti di contatto per le quadriche del fascio, cioè dei 

 punti A , B , P : il che è assurdo, non potendo S ;i _! passare per alcun punto 

 B (nè S'/,-i per alcun punto A) giacché allora conterrebbe alcuno degli spazi (1), 

 che sarebbe per conseguenza luogo di infiniti punti di contatto; e nemmeno po- 

 tendo S/j-i , S'/t-i passare per i punti P, per essere i punti (3) tutti indipendenti. 



« Adunque gli spazi (1) appartengono ad uno spazio S 2 7j_i , che è unito 

 nella omografia, tali essendo i due spazi S^-i S'^-i che lo determinano. Di 

 nuovo lo spazio Sg^j e l'altro S m - 2 n-i condotto pei punti P non possono avere 

 alcun spazio comune. Questo spazio, se esistesse, dovrebbe essere comune a 



