v n ,yi,yz, y m , contengano pure razionalmente le k varia- 

 bili Ui , u 2 u k . 



- Il sistema delle m-\-ii equazioni algebriche (I) e (II) 

 possegga, per ogni sistema di valori delle it x ,u 2 . Un, p si- 

 stemi di soluzioni che denoteremo con 



x w x a) v a) v w z/ (1> 



x m x w x™ w (2> v 12 



^i > **2 ' ' #1 ' #2 ' I/m 



" Nella funzione 



F (x x , # 2 , .... x n , yi, yt, 



si sostituiscano in luogo delle m-\-n variabili successiva- 

 mente i p sistemi di soluzioni (III). Otterremo p funzioni 

 che denoteremo con 



JH2) JVp> 



le quali saranno funzioni di U\ , u 2 , .... w». 

 -Abbiamo sempre che 



]?o> _J_ p«) _f_ _(_ jv> 



è una funzione algebrica e logaritmica di u\ , u 2 , .... Un il cui 

 differenziale è razionale in U\ , u z , liu- 

 ti Un metodo che può seguirsi nella dimostrazione del teorema è il seguente. 

 « Supponiamo che il campo di variabilità di ciascuna delle variabili 



complesse u x , u 2 , Uh sia un piano indefinito ad un solo foglio. 



« Facciamo partire queste variabili da un sistema di valori arbitrari 

 «i° . tc 2 ° .... Un 0 e facciamole tornare agli stessi valori iniziali, dopo che cia- 

 scuna variabile ha eseguito nel suo piano un giro qualunque. 



« Se consideriamo i sistemi di valori (III) come funzioni delle u x , u 2 Uh , 



quando queste variabili torneranno ai valori iniziali dovrà evidentemente veri- 

 ficarsi uno dei tre casi seguenti : 



« 1°) ciascuna linea del quadro (III) ritornerà in sè stessa; 

 « 2°) alcune linee soltanto del quadro (III) torneranno in loro stesse, e 

 le rimanenti si scambieranno fra loro; 



« 3°) tutte le linee del quadro (III) si scambieranno le une nelle altre. 

 «Analogamente consideriamo il sistema di valori u A -\- clu x ,u 2 -\-du 2 , 



Un -f- chtit i quali, partendo dai valori U\ -f- dui" , u 2 -f- du 2 ° , -f- 



tornino ai valori iniziali stessi. 



