« Se ad essi corrispondono per le Xi,x 2 , .... cc n , y x , y 2 , .... y m i # si- 

 stemi di soluzioni 



w + *c *f+^r\ < 2, +^r , ^ 2, -m^ 2) , y? + %r - 



e se si suppone che i cammini descritti dai punti u x u 2 •••• u% evitino quei 

 sistemi di valori per cui alcune delle radici distinte del quadro (III) divengono 

 fra loro eguali, è evidente, per la continuità, che ad ogni scambio di linee nel 

 sistema (III) corrisponderà un eguale scambio di linee nel sistema (III'). 

 « Ciò premesso, consideriamo la espressione differenziale 



£pa> _j_ dF^ -}- -[- =f_i Xs ftdxf 



i i 



la quale, quando si riguardino le 



x\ ,< xl\y\\yY y\l 



come funzioni di u x ,"u 2 , Uu , potrà scriversi sotto la forma 



k 



i 



« Se facciamo muovere le u x , w 2 , .... u }l , -f- e^i , w 2 -j- du 2 , .... -f- du k 

 (ciascuna di esse nel suo piano) partendo da un sistema di valori arbitrario 

 Hi 0 , u 2 ° .... Uìi" , Ui° -{- diix 0 , u 2 ° -{- du 2 ° , iijc 0 -\- du k 0 fino a ritornare ai va- 

 lori stessi (ed evitando quei sistemi di valori per cui alcune delle radici distinte 

 del quadro (III) divengono fra loro eguali), per ciò che si è detto, le dF a \ 

 c£F c2) , .... dF (p) non faranno altro che riprendere i loro valori iniziali o scam- 

 biarsi fra loro, lasciando quindi inalterata la loro somma. 



« Ne segue che l'espressione differenziale 



k 



2-t ®t {ui , Uz,....u k )dUk 

 i 



dovrà essere monodroma. Da questo resultato e da una semplice ispezione delle 

 funzioni d> ( resulta che l'espressione differenziale dovrà essere razionale in 



u x , u-z Uk, , come appunto dovevasi dimostrare. 



t Se F è tale che non diviene mai infinito per nessun si- 

 stema di valori d i x x , x 2 , .... x n , y x , y 2 y m , è evidente allora che 



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