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e convergente in tutta la porzione del piano s esterna ad un cerchio di centro 

 o e di raggio E. Pongasi z—y — x, talché 



(1=0 w ' 



« Questa, considerata come funzione di y, sarà regolare per tutti i va- 

 lori tali che sia 



\y-w\>R; 

 ma questa condizione è certamente soddisfatta se è 



onde, presi i valori di x entro un cerchio di centro o e di raggio q , e quelli 

 di y fuori di un cerchio di centro o e di raggio K + o- la A(y — x) sarà 



regolare e come tale si potrà sviluppare in serie di potenze di — . Si avrà 

 pertanto : 



(2) My-^=y-^#- 



/)=o * 



« Ora qui si verifica senza difficoltà, eseguendo lo sviluppo mediante hi 

 serie binomiale, che il coefficiente A n (x) non è altro che l'n-{-l mo polinomio 

 dell' Appell formato col sistema di coefficienti a 0 , a } , a 2 , ... a„ ... ; cioè 



( 3) Ai, (x) = a 0 x n + (fj a, + Q a, x^ -\ \-a n . 



« 2. Dallo sviluppo (2) risultano per i polinomi in discorso le nuove se- 

 guenti espressioni: 

 dal teorema del Taylor, si ha 



Va (}-*)- 



< 4 > Ti L. V 



e dal teorema di Cauchy: 



(5) A„ (*j = -±r jk (y - o>) y cly ,. 



dove l'integrazione è estesa ad una circonferenza di centro o e di raggio r 

 •superiore ad R-f-o di tanto poco quanto si vuole. 

 « Dall'espressione (5) risulta 



| A„ (x) | < Mr" , 



essendo M un numero finito positivo (limite superiore dei valori assoluti di 

 A(y — oc) per j y \=r ed e poiché r è superiore ad li-\-Q di tanto 



poco quanto si vuole, si può scrivere, secondo una notazione che ho già usata 

 in altro lavoro ( 1 ) : 



(6) A„ (x) ^ (Il + (?)" . 



(i) Annali di Matematica, S. II, T. XII. p. 22. 



Rendiconti. 1886, Vol. II, 2° Sem. 



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