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- 3. Il sig. Appell indica con F(A) lo sviluppo che si ottiene (astraendo 

 dalla sua convergenza) sostituendo in una serie di potenze 



F (s) = 2 c» 2> l 



il polinomio A„(#) al posto di s'\ La proprietà (6) dei polinomi A„(#) di- 

 mostra che lo sviluppo 



dove è c n t —>a n , converge sotto la condizione 



a(R + ? )<l, 



cioè entro un cerchio di raggio — — R. Notisi che — è il raggio di conver- 

 genza della serie 2c n s". 



- Se questa è una funzione trascendente intera, lo stesso sarà di F( A) , 

 purché R sia finito. 



« Se F(,s) converge entro un cerchio di raggio r superiore ad K -j- « - 

 si ha per |«*|<C? : 



(?) v(V = itrJ^{y-z)y{y)dy. 



k 4. Dato un sistema di polinomi A„ {%) , ed una funzione f{x) regolare 

 entro un cerchio di centro j — Q, si può proporsi di sviluppare la f(%) in 

 serie della forma 2tf n A n (#). Il problema ha dunque per oggetto di deter- 

 minare il sistema dei coefficienti c„ , o la funzione 



$ Qf)= 2 Cn ir- 

 ti Ora suppongasi che esista una funzione 



°° 7 



tale che estendendo l'integrazione ad una circonferenza compresa nel campo 

 di convergenza di f(s) , si abbia 



ne verrà 



~-y 2 jj A {x - //) B (y - «) f(z) eh dy=f{x) , 

 la quale sarà soddisfatta se si può determinare B per modo che sia 

 f A (x-u) B (y-i) ^ = -^- • 



« Ma ponendo 



(0) A(*-y) = Xf>-(^ . B(y-,)^1^> 



viene 



