da cui fra i coefficienti a» e b n risultano le relazioni 



(11) | «o b n + (^j «1 b n -i + (l * H h ^0 = 0 



V « 0 i 0 = 1 . 



« Questo sistema di equazioni in b 0 , bi, ... potendosi sempre risolvere, 

 si potrà almeno formalmente,, determinare la funzione B(y — g) , e quindi me- 

 diante la (8) trovare la funzione ~F(y) richiesta ; ma la validità di questa solu- 

 zione andrà verificata a posteriori. È condizione sufficiente per la validità degli 

 sviluppi precedenti che si possa determinare una circonferenza di centro y = 0 

 luugo la quale convergano insieme, in egual grado, i due sviluppi 



e lf>*(*) ; 



ma non è però necessaria. 



« Dalle relazioni (11) segue che 



2- n \ g 



ni srOn 



n : 



y V 



e troviamo così per altra via che i polinomi B, ? (//) sono quelli chiamati 

 dall'Appell inversi dei polinomi k n (.x). 



« 5. Con egual facilità otterremo una forinola dovuta al sig. Halphen (') 

 e che si può riguardare come una notevole generalizzazione della serie di Taylor- 



« Abbiamo infatti imparato a risolvere - almeno formalmente - l'equa- 

 zione funzionale 



l^-Jk(y-z)iny)dy = f(x) 



in cui ¥(y) è la funzione incognita. Si ponga ora x-\-f, y-\-t al posto di 

 x ed y , e viene 



f (* + 1) = -~ Ja (y - x) ?(y + t) dy , 



ma 



k{y _x } = £JkM, F(y .-f->) = 1-^^(0; 



onde se queste due serie hanno una circonferenza di centro y = 0 lungo la 

 quale convergono ambedue in egual grado, si avrà 



che è la forinola del sig. Halphen ». 



(!) Compte'-Beiidus des Séances de TAcadémie des Sciences, T. 93, p. 833. Paris, 1881. 



