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Matematica. — Sulle soluzioni comuni a due equazioni a de- 

 rivate parziali del 2° ordine con due variabili. Nota I. dì Luigi Bianchi. 

 presentata dal Socio Betti. 



- In diverse ricerche si presenta talora la questione di riconoscere se due 

 date equazioni a derivate parziali del 2° ordine, con due variabili indipen- 

 denti e colla medesima funzione incognita, hanno o no soluzioni comuni e, 

 nel caso affermativo, occorre avere un metodo per trovarle. 



- La prima parte della questione si risolve, come dimostrerò in questa 

 Nota, con sole operazioni algebriche e di derivazione, la seconda si riduce 

 all'integrazione di un' equazione differenziale ordinaria. Per quanto so, tale 

 problema non era ancora stato trattato in modo generale e completo. Il me- 

 todo proposto da Vàlyi (') non ini sembra applicabile in tutti i casi; esso 

 richiede inoltre un processo d'integrazione più complicato di quello che qui 

 esporrò. 



« Alla trattazione del caso generale premetto quella di alcuni casi più 

 semplici, la cui risoluzione preliminare è necessaria, onde il metodo riesca 

 sempre applicabile. 



- 1. Essendo j = z(x J y) una funzione di due variabili indipendenti 

 x j y, e denotando, come al solito con p , q; r ., s , f le sue derivate parziali 

 di 1° o 2° ordine, proponiamoci di riconoscere se esistano soluzioni comuni 

 alle due equazioni a derivate parziali : 



. ( F(x,y,s,p,fj,r,s,t) = 0 



- \ f(x$,z,p,q) = 0, 



delle quali la prima è di 2°, la seconda di 1° ordine. 



« Per ciò, immaginando la seconda equazione risoluta rispetto a p o q , 

 p. e. rispetto a q , ne trarremo 



q=== xp(a;, y,s,p); 



da questa seguono le altre 



s = — + p — 4- r — 

 Dx 1 1 ~òz 1 l>p 



~òy 1 1 D2 1 7>p 



le quali, combinate colla prima delle (1), determineranno r . s , t in funzione 



di x j y , s jp ( 2 ) , diciamo 



r = <pi (x, y, s, p), s = y 2 (x, y,s,p), t = g> 3 (x, y, s, p) . 



(') Journal von Creile, Band 95, p. 99. 



( 2 ) Escludiamo naturalmente il caso che la prima delle (1) sia una conseguenza delhi 



seconda. 



