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- Il nostro problema consiste allora nel determinare 3 p in funzione 

 di x , y , in guisa da soddisfare le due equazioni a differenziali totali : 



( ds —pdx -j- ip {oc, y, 3, p) dy 

 \ dp = (a, y, g, p>) dx -f- y 2 (x, y, 3, p) dy . 

 k Costruiamo per ciò con Mayer (*) il sistema di equazioni a derivate 

 parziali, lineari e omogenee. 



dove f è una funzione incognita delle 4 variabili x , y , 3 , p , riguardate 

 attualmente come indipendenti. Tale sistema sarà Jacobiano se la relazione 

 (3) A(9- 2 ) = B( 9l ) 



è identicamente soddisfatta, qualunque siano x ,y _,s ,'p. In tal caso le (2) 

 avranno due soluzioni indipendenti /i , f 2 ed eguagliandole a due costanti arbi- 

 trarie Cx , c 2 se ne trarrà 



3 = 3 (x, y, d , c 2 ) , 

 che sarà la soluzione più generale delle proposte (1) 



* Quando la (3) non sia un' identità, dovrà essere però verificata se per 

 3,p si sostituiscano i valori 3i ,pi , corrispondenti ad una soluzione comune 

 delle (1), perchè, dopo tale sostituzione, la (3) esprime l'identità 



~òy ~bx* ~òx lìxìy 

 « Allora la (3) , se contiene p , ci determinerà p in funzione di x , y , 3 , 

 e similmente esprimeremo q per x , y , 3 , diciamo 



p — l \x ,y, S ) q = t a (x, y, 3) . 



- Quando l'equazione a differenziali totali 



ds = Xdx -j- (.idy 



soddisfi alla condizione d'integrabilità, ne trarremo 3 in funzione di x , y e 

 di una costante arbitraria e resterà a verificare se tale valore di & sod- 

 disfa la (1). 



« 2. Supponiamo date tre equazioni simultanee e distinte a derivate par- 

 ziali del 2° ordine 



F,(^, y, s,p, q,r, s, t) = 0 

 F 2 (%, y,3,p, q, r,s, 0 = 0 

 F 3 0, y,s,p, q, r,s, t) = 0 



(>) Mathemàtische Annalen, Band 5, p. 448. 



( 2 ) E infatti si vede subito che se in una soluzione qualunque f{os,y,s,p) delle (2) 

 si sostituiscono per z ,p , i valori z t ,'pi , corrispondenti ad una soluzione comune delle (1). 

 la /' diventa una costante. 



