e cerchiamo se esistano soluzioni comuni ('). Se fra di esse non si potranno 

 eliminare r ,8,1. in guisa da ottenere una equazione del 1° ordine (il che 

 ricondurrebbe al caso superiormente trattato), potremo trovare r , s , t in fun- 

 zione di ./',?/,; _, diciamo : 



r = <pi (x, y, *, p, q) , s = f t (x, tj, 2, p, q) . / = y 3 («r, y, ~-, q) . 



- TI nostro problema consiste allora nel determinare s,p ,q in funzione 

 di x.y in guisa da soddisfare alle tre equazioni a differenziali totali: 



d: =pdx -J- 

 cip = g>y da (f-z dy 

 dq =»(pi dx -\- (f s dy . 

 • Perciò costruiremo, come sopra, il sistema corrispondente di equazioni 

 del 1° ordine, lineari, omogenee: 



(4) \^-%+$+»%+»%*> " * f 



dove /' denota ima funzione incognita delle 5 variabili x , y .:./>. q . attual- 

 mente riguardate come indipendenti. 

 « Se le condizioni 



(5) A(y f ) = B( 9l ). A(y 3 ) = B#a 

 sono identicamente soddisfatte in x , y , z ,p , q , il sistema (4) sarà Jaco- 

 biano, ed eguagliando le sue tre soluzioni indipendenti j\ , f 2 . fz a tre co- 

 stanti arbitrarie c x , c% , c 3 , ne trarremo 



* = « jj^ y, Ci, c 2 , c-ì) , 

 che sarà la soluzione più generale delle equazioni proposte. 



- Quando le (5) non siano identiche, dovranno però essere verificate da 

 ogni soluzione comune Si delle proposte e dalle sue derivate parziali pi , . 

 poiché, fatta tale sostituzione, esse stanno ad esprimere le identità 



Tu' l>xl>y ~òy 'òx 2 1\x ~ì>y 2 ~òy ~bxl>y 

 e In tal caso le (5) costituiranno una 0 due relazioni fra x , y , s , p , q 

 e il problema si tratterrà ulteriormente come al n. precedente. 



« 3. Siano ora date due equazioni simultanee a derivate parziali del 

 2" ordine. 



,qs L P x (x, y,$,p, q, r, s, t) — 0 



( F z (x, y,érP, q, r, s, t) = 0 



('J La risoluzione di questo problema è ben nota (cf. p. e. Konig, Partiellc Dijferen- 

 tialgleiehungen 2 er Ordnung. Math. Annalen, Band 2-1, p. 470). Qui la riproduco per com- 

 pletare ^"trattazione. 



