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' « I calcoli del n. 3 provano allora che, essendo identicamente 

 dovrà aversi 



(15) ^-r(|) = r(^) 



« Se tale relazione non è identica in x , y , g , p , # , r , ci troveremo nei 

 casi dei numeri 1 o 2. 



« Quando invece anche la (15), come la (14), è un' identità, possiamo 

 dimostrare : 



«Le equazioni proposte (IT) ammettono una soluzione s 

 comune, contenente una funzione arbitraria. 



« E infatti cerchiamo di determinare r in funzione di x ,y , s ,p , q in 

 guisa che questo valore r = r(x ,y,z,p,q) sia compatibile colle (11'); sarà 

 per ciò necessario e sufficiente che si abbia (cf. n. 2) : 



Q (r) = v(s), Q ( s ) = x(t) 



ovvero 



?Wt^W + v^) 

 or 



dì dì 



« Ma di queste due equazioni la 2 a è conseguenza della l a , a causa 

 delle identità (14) (15) e però basta che r soddisfi all' equazione a derivate 

 parziali del 1° ordine : 



(16) ' *(r)^^r(r) = r(^). 



u Ad ogni valore di r che soddisfi questa equazione corrisponde una 

 soluzione g delle (11'), contenente tre costanti arbitrarie (n. 2). E poiché nel- 

 l'integrale generale della (16) entra una funzione arbitraria, lo stesso dovrà 

 accadere nella soluzione più generale s - delle proposte. 



« In un caso particolare, quando cioè nelle (11') le funzioni xp u xp 2 non 

 contengono r, possiamo constatare questo fatto in modo più semplice e diretto. 

 Allora l'identità (15) si muta nell'altra 

 (lo) x(* 2 ) = Q(ip l ) 



e questa, per essere verificata, esige anzi tutto che si abbia = 0. Per 

 ciò la 2 a delle (11') assume la forma 



e può integrarsi come equazione differenziale ordinaria, riguardandovi x come 

 costante. Il suo integrale generale avrà la forma 



'i=^(*.y. «■(*). «»(»)). 



