ove 0i (x), 0 2 (x) sono due funzioni arbitrarie di x. Sostituiamo questo valore 

 di s nella l a delle (IT) e cerchiamo di determinare 6 l {x), 0 2 (x) in guisa 

 da soddisfarvi. Indicando per brevità 



Dx òy 

 con 



Si — Oi] • 



osservando l'identità (15'), troviamo subito 



(«) 



« Ora supponendo che Si — [Vii s i a funzione analitica di y, sviluppa- 

 bile cioè in serie di Taylor per le potenze di y — a {a costante), la («), deri- 

 vata successivamente rispetto ad y, dimostra che se si ha 



Si ■ • [«/'i] per y==a 



sarà anche 



— — = — ^ — - J per y = a 

 Hy ly * 5 



= per y 



ecc. ecc. 



- Basterà dunque rendere 



(fi) Ssr-MÌ =0 



perchè ne risulti 



Si = [_4>{] per y qualunque, 

 nel qual caso anche la l a delle (11') sarà soddisfatta. Ma la (§) è eviden- 

 temente una relazione della forma 



F (x, e, (x), B 2 (x), 6\ (x), 0' 2 (x)) *= 0 ; 



possiamo quindi assimiere ad arbitrio una delle due funzioni 6 X {x), 02 (x), 

 risultandone l'altra determinata a meno di una costante arbitraria. 



« 5. 11 sistema (11'), considerato al numero precedente, e pel quale le 

 relazioni (14) (15) sono due identità, può dar luogo ad nn ulteriore caso spe- 

 ciale, che merita di essere considerato a parte. Può darsi che le proposte (11') 

 ammettano a comune un integrale primo della forma 

 (18) V{x,y,z,p,q) = eost. te ; 



allora l'integrale generale della (18) dà la soluzione più generale comune 

 delle (11') ed in questa è palese la presenza di una funzione arbitraria. 



« Per trovare le condizioni affinchè tale integrale primo (18) esista, osser- 

 viamo in primo luogo che, in questa ipotesi, le funzioni i/q , ip 2 dovranno 

 contenere r linearmente e l'essere la (14) identicamente soddisfatta porta che 

 esse abbiano la forma: 



