dove 0i, 0 2 , « sono funzioni di x,y,2,p,q. Ora, se /* denota una funzione 

 qualunque di x,y, s,p, q, introducendo i simboli: 



(19) 



Hf)- 





2L 



1)2 



+ 0i 



V 



l>q 





B(/) = 





2L 



1)2 





Tip ^ 



V 





-f- a 



~òf 



Dq 









potremo scrivere, essendo r(/"), £>(/') i simboli del n. 3; 



r(/) = A(/)+rC(/-) 

 (»(/) = B(/) + arC(/'). 



« Per tal modo la (15) diventa : 

 a | A (00 + rC (00 + ; A (a) + r* C (a)| +B(0.) + arC (OJ+r B(«)+wC(a) 



— A (0o) — rC (0 2 ) — 2ar | A (a) -f (a) J = 0 

 e, per essere identica, si scinderà nelle due: 



(20) | B(«)-C|0 2 ) = «|A( a )-2C(0 1 ) 

 l A (0 2 )— B(6 l )= «A (00 . 



« Ma perchè l'integrale supposto (18) esista, le tre funzioni 0 n 0 2 , « 

 dovranno soddisfare, oltre che alle (20), ad altre ulteriori condizioni. E infatti, 

 derivando parzialmente la (18) rispetto ad x, y e confrontando le equazioni 

 risultanti colle proposte 



s = 0i -j- per , t = 0 2 -j- « ? t , 



si vede subito che la P deve soddisfare le tre equazioni simultanee : 

 A (F) = 0 , B(P) = 0, C (P) = 0 . 

 « Ora, a causa della 2 a delle (20), abbiamo, qualunque sia P : 

 A [B (F)] — B [A (P)] = A (00 • C (P) 



e, se poniamo 



(19') D (P) = A [C (P)] - C [A (P)] = - ^ + | A («) - C (00 |^ • 



troviamo anche, a causa della l a delle (20): 



B [C (F) ] — C [B (P)] = «D (F) — C (00 . C (F) . 



« Ma l'equazione D(F) = 0, che è una conseguenza delle tre 



A (F) = 0 , B (F) = 0 C (F) = 0 , 



non ne è certo una combinazione lineare e perciò, nell'ipotesi fatta, il sistema 

 delle quattro equazioni simultanee 



(21) A(F) = 0, B(F) = 0, C(F) = 0, D (F) = 0 



