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appunto le trasformazioni piane multipe di grado k, di genere p e di or- 

 dine M; le quali comprendono come casi particolari le trasformazioni piane 

 doppie ( ! ) studiate da De Paolis {k == 2), le trasformazioni Cremoniane 

 o bir azionali ( 2 ) {k -— 1), e quindi anche le lineari, cioè l'omografia e la 

 reciprocità ordinaria {k = 1 , M = 1). Devo però qui limitarmi a comuni- 

 carne soltanto alcune proprietà. 



« Se a ogni punto di un piano ri corrisponde una retta [punto] del 

 piano 7r, e a ogni retta [punto] di n corrisponde un gruppo (k) di k punti 

 in ri , per modo che a ciascun punto del gruppo corrisponda sempre là me- 

 desima retta [punto] di n , si dirà che fra i due piani ha luogo una tra- 

 sformazione o corrispondenza multipla reciproca \_isografica~] di grado k , 

 la quale si dinoterà con {{ti ri)) k ( 3 ) , e si distinguerà n col nome di piano 

 multiplo o k-plo e ri col nome di piano semplice. 



« A un elemento A di n corrisponde in generale un gruppo {li) in ri ; 

 se questo gruppo contiene un punto doppio, nel .quale cioè due dei k punti 

 divengono infinitamente vicini, A si dira elemento limite di n. Curva doppia 

 del piano semplice è il luogo C v dei punti doppi testé definiti ; curva limite 

 del piano multiplo è la linea C x [luogo o inviluppo degli elementi limiti A] 

 che in n corrisponde alla curva doppia ( 4 ). — Le due curve sono dello 

 stesso genere p 0 . 



« Quando ve e ri sono sovrapposti, se la trasformazione multipla è 

 reciproca, sono anche a considerarsi l'inviluppo U delle rette unite (cioè 

 delle rette di n contenenti un punto del corrispondente gruppo {lì) di ri) e 

 il luogo U' dei punti uniti (ossia dei punti di ri situati sulle corrispon- 

 denti rette di ri). 



« Elementi fondamentali della trasformazione multipla di grado k 

 sono in ciascun piano gli elementi comuni alle curve [luoghi o inviluppi] 

 che corrispondono alle forme lineari [rette-punteggiate o punti-centri di fasci] 

 dell'altro piano. Linee fondamentali di ciascun piano sono le curve [luoghi 

 o inviluppi] corrispondenti agli elementi fondamentali dell'altro piano. 



« A un punto di ri corrisponde un elemento di n, e a questo in ri 

 corrisponde un gruppo di k punti, fra i quali si trova il dato: onde un 



(1) Memorie Acc. de' Lincei, ser. 3 a , 1. 1, Le trasformazioni piane doppie. Parecchie 

 delle proprietà relative al caso k = 2 contenute in questa Memoria, sussistono nel caso gene- 

 rale di k qualunque. 



( 2 ) Inclusa la trasformazione De Jonquieres. 



( 3 ; Si può distinguere la corrispondenza multipla reciproca dalla isografica di grado k 

 scrivendo rispettivamente nei due casi {{n7i')) h e (( n n')) k . Del resto è bene osservare 

 per maggior generalità che neri anziché piani (punteggiati, rigati) potrebbero anche rap- 

 presentare due stelle (di raggi, di piani). 



( 4 ) Ho adottato queste denominazioni che sono la generalizzazione di altre adope- 

 rate dal De Paolis (1. e). 



