punto X di n' ne determina altri k — 1 {"punti congiunti ad X) ; se X de- 

 scrive una linea C, i suoi congiunti descrivono una curva C {linea con- 

 giunta a C), che eventualmente può coincidere con la C stessa. Per tra- 

 sformazione congiunta i}) alla data trasformazione multipla {{txtt')\ s'inten- 

 derà la trasformazione involutoria {{re')), che a ogni pimto di n' fa corri- 

 spondere i suoi k — 1 punti congiunti, e a ogni curva di n , la curva 

 congiunta. 



« Ordine N della trasformazione congiunta {{^')) è 1' ordine della 

 curva C N congiunta a una retta arbitraria del piano ; i punti comuni a tutte 

 le C N sono gli elementi fondamentali e le curve congiunte ai medesimi 

 (ossia i luoghi dei punti congiunti ai fondamentali) sono le linee fondamen- 

 tali della trasformazione congiunta {{tt')). 



« Per fissar meglio le idee, e anche in vista di certe applicazioni alle 

 trasformazioni birazionali, considererò d'ora in poi la trasformazione piana 

 reciproca di grado k ({rcrr)) h , indicandone brevissimamente alcune pro- 

 prietà; con che la generalità non resta punto menomata. 

 I. Ai punti {centri di fasci) del piano multiplo {rigato) n corrisponde in n' 

 una rete di curve y>' segantisi due a due in k punti variabili. 



« Se M è l'ordine e p il genere di queste g/, la trasformazione multipla di 

 grado k si dirà dell'ordine M e del genere p . 



« Supponiamo dati gli f 0 punti fondamentali del piano semplice ; se indi- 

 chiamo con ri , r% , ... jy 0 i loro gradi di molteplicità e con c il numero 

 delle condizioni libere (non assorbite dai punti fondamentali) alle quali una 

 curva arbitraria della rete [r/'] è assoggettata, si avranno le tre relazioni 



M(M + 3) 2 _ Ir (r±J) + e 



2 2 



(M— 1)(M— 2) Ir (r — 1) 

 2 ~ 2 



M 2 = Ir 2 + k 



dalle quali si ricava 



p — k — 1 — c 



e quindi: 



IL II genere di una trasformazione multipla di grado kèp = k — 1 — c ( 2 ). 



Se c = 0 la rete [y'] è determinata dai punti fondamentali, presi 

 in posizione generale, e si ha p = k — 1 ; 



( 1 ) Kiguardo a queste denominazioni veggasi la nota precedente. 



( 2 ) Qualsivoglia curva della rete \jp'^\ contiene una oo' di gruppi (k) tali che ogni 

 punto della curva ne individua uno, e che i k punti di uno stesso gruppo si determinano 

 fra loro involutoriamente. Il numero A dei punti uniti (o doppi) della oo ' di gruppi 

 è =2{p-\-k — 1) = 4p -\- 2c. Per le curve iperellittiche (k = 2), come già ha osservato 

 De Paolis, si ha A = 2 (p + 1). 



