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se e > 0 i punti fondamentali, presi in posizione generale, non de- 

 terminano una rete, ma una serie più che due volte infinita di curve, alla 

 quale deve appartenere la rete [^'J, e si ha p<i.k — 1 ; 



se c <C 0 non è possibile stabilire la rete [jp'~\, se non prendendo i 

 punti fondamentali in posizione speciale, e si ha p j> k — 1 . 



III. Alle rette del piano semplice corrisponde in n una serie doppiamente 



infinita {d'indice k 2 ) di curve razionali y> della classe M . 

 « Una retta arbitraria 1 è tangente comune di k serie semplicemente 

 infinite (ciascuna d'indice k) di curve y> [le quali corrispondono ai fasci 

 aventi i centri nei punti del gruppo (k) corrispondente alla l~] ; è toccata in 

 ogni suo punto da k curve (p [una per ciascuna serie^ ; è tangente doppia 



di — — curve (p [le quali corrispondono alle rette che congiungono 



a 



due a due i punti del gruppo (k) ~\ ecc. ecc. 



« Le curve cp passanti per un punto corrispondono univocamente alle 

 tangenti di una y ; onde se m è la classe delle (p r vi sono km curve cp 

 che passano per un punto dato e toccano una retta data; se i è il nu- 

 mero delle tangenti stazionarie e r quello delle tangenti doppie di una <p' 

 vi sono r o i curve y per le quali un punto dato è rispettivamente doppio 

 o cuspidale ecc. 



N— v 



« Ogni curva <p tocca in v punti la curva limite ed ha — - — tan- 



genti doppie variabili (non fondamentali). 



« Indicando genericamente con Qi il grado di molteplicità delle rette 

 fondamentali del piano multiplo, il numero delle tangenti variabili comuni 

 a due (p arbitrarie è espresso sia da N -|- 1 sia da M 2 — I.q 2 ; onde : 



IV. L'ordine della trasformazione congiunta ((^')) & detto da N=M 2 — I.q 2 — 1. 



« Le altre proprietà della trasformazione congiunta ((n')) si trovano 

 pure facilmente per mezzo della trasformazione #-pla ((n n')) ; perciò qui ne 

 ometto gli enunciati ( 1 ). 



V. La curva doppia C„ e le curve fondamentali del piano semplice costi- 



tuiscono la jacobiana della rete \jp'~\; epp rò l'ordine della curva 

 doppia è dato da v = 3 (M — 1) — I.q. 

 * Calcolando il numero X delle intersezioni variabili della curva doppia 

 con una cp' arbitraria si ha la classe della C x ; onde: 



VI. La classe della curva limite C x è espressa da X = 2(p-\-k — 1); 



il genere da p 0 = 9p -f- 1 — f 0 (se non vi sono elementi fondamentali nel 

 piano multiplo). — Ai punti semplici '_, doppi e cuspidali della curva 

 limite corrispondono le <p' dotate rispettivamente di un punto doppio, 

 di due punti doppi, di una cuspide. 



( ] ) Li ometto anche perchè le proprietà stesse si possono ricavare dallo studio 

 dell'ing. F. Chizzoni, Sopra le involuzioni nel piano (Mem. Acc. de' Lincei, ser. 3 a , t. XIX). 



