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VII. Il luogo dei punti uniti (ossia situati nelle rette corrispondenti del 

 piano multiplo) è una linea U' dell'ordine M-j-1, la quale passa 

 con r rami per ogni punto fondamentale x-ptlo del piano semplice. 

 Vili. L" inviluppo delle rette unite (ossia contenenti uno dei punti corri- 

 spondenti del piano semplice) è una linea U della classe M -J- k, 

 la quale è toccata q volte da ogni retta fondamentale Q-pla del 

 piano multiplo. 



Le curve U, U' sono corrispondenti epperò di ugual genere. 

 « A ima determinata curva C di n' corrisponde nel piano multiplo n 

 una determinata curva C; viceversa però alla C corrisponde non la C sol- 

 tanto, ma bensì anche la sua linea congiunta C. Così ad esempio: 



IX. Il luogo del punto la cui retta corrispondente in n inviluppa la curva 



limite G K è costituito dalla curva doppia C v e dalla sua linea con- 

 giunta C„. 



X. Il luogo del punto la cui retta corrispondente in n appartiene all' in- 



viluppo U delle rette unite, consta della curva U' dei punti uniti 



e della sua linea congiunta U'. 

 « Disposti in ordine di grandezza i gradi di molteplicità degli f 0 punti 

 fondamentali del piano semplice, supponiamo che ri "> r 2 > r 3 "> ... "> ?y 0 ; 

 se fi -{- ?*2 -j- ?*3 ^> M, con ima trasformazione birazionale quadratica si può 

 abbassare l'ordine M della trasformazione multipla, senza alterarne il genere 

 nè il grado. Dunque: 



XI. La condizione necessaria e sufficiente perchè una trasformazione mul- 



tipla di dato genere p e di dato grado k sia d' ordine minimo è 

 espressa dalla ineguaglianza i\ -{- r 2 -f- r 3 <" M. 

 « E per conseguenza ( l ) : 



XII. Se una trasformazione multipla è del minimo ordine fra quelle di 



dato genere p e di dato grado k , non vi saranno elementi fondamen- 

 tali nel paiano multiplo, nè curve fondamentali nel piano semplice. 

 « Inoltre: 



XIII. Se per due trasformazioni multiple di ugual grado e di ugual genere, 

 M e M r sono gli ordini e Xi , r/ (i = 1 , 2 , 3 , < . .) i gradi di molte- 

 plicità dei pmnti fondamentali situati nel rispettivo piano semplice; 

 una qualunque delle tre ineguaglianze M M', Ir = Ir' j Ir 2 = Ir' 2 

 condurrà necessariamente alle altre due ». 



(') Cfr. E. Caporali, Sopra i sistemi triplamente infiniti di curve algebriche, 

 n. 3 (Collectanea Mathematica, Milano 1881). 



