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Matematica. — Sulle soluzioni comuni a due equazioni a derivate 

 parziali del 2° ordine con due variabili. Nota III. (*) di Luigi Bianchi, 

 presentata dal Socio Betti. 



k 6. Per dimostrare in un caso pratico l'utilità delle considerazioni pre- 

 cedenti, applichiamole alla equazione lineare (studiata da Eulero e Laplace) 

 della forma : 



(22) s + Pj5 -f Qq + 2fo = M, 



dove P, Q, jNT, M sono funzioni date di x, y e cerchiamo se essa può avere 

 a comune con un' altra equazione del 2° ordine un integrale con una funzione 

 arbitraria. I risultati del n. 4 provano che, se questa seconda equazione esiste, 

 si potrà porla sotto la forma 



t = \p z (%, y, *, q) , 



o sotto l'altra 



r = cp 2 (w, y, 2, p) . 

 u Possiamo limitarci al 1° caso (il 2° deducendosi dal 1° collo scambio 

 di w, y; p, q) e allora, per determinare ip 2 , abbiamo l'equazione a derivate 

 parziali (15) n. 4: 



r (xp 2 ) = q (Vi) , 



ove tyi = M — Pjj — — . Siccome ip 2 non contiene p essa si scinde 

 nelle due seguenti: 



!sq ~òy 

 a Immaginando t = \p 2 determinata dall'equazione 

 <P {ce, y, 2, q, t) = 0, 

 dovrà la funzione # soddisfare le due equazioni 



A(0>) = - h(M — Qq — N*) — + — — — -q— — z — ?N— 



— P(M — qq — Esr) — ^ = 0 



« Ora se poniamo 



« = N _PQ_ J£, 



(i) Vedi p. 237. 



