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troviamo 



A[B W ]-B CAW ] = «^ + (|.- 2 P a )^. 



« Se dunque « = 0 , nel qual caso la (22) è immediatamente integra- 

 bile col metodo di Eulero, il sistema (23) è già Jacobiano e la proposta (22) 

 associata coli' altra 



<Pi Oj y, ^^,0 = 0, 

 dove (Pi è una soluzione qualunque del sistema (23), gode della proprietà 

 domandata. 



« Se non è « = 0 , la funzione & dovrà inoltre soddisfare l'equazione 



« Ora si trova subito 



B[C (*)] — C[B (#)] = 0 



A[C(0»)]-C[A(a>)] = Q.C(<P) + |^|^ + 2«-f-^ + PQ-Nj^ 



e poicbè <P deve contenere certamente t, la proprietà richiesta per la (22) 

 sussisterà soltanto se si ha 



(24) ]^ + 2« + ^-f-PQ-N = 0. 



K J ~òsc ~òy ìy ™ 



« Allora è noto che la (22) è integrabile col metodo di Laplace dopo 

 una prima trasformazione (') e, per quanto si è visto ora, esisteranno altre 

 equazioni del 2° ordine 



4> {se, y, g, q, t) = 0 , 

 con ciascuna delle quali la proposta (22) ha a comune un integrale con una 

 funzione arbitraria. La funzione <P (se, y, s, q, t) si determina integrando il 

 sistema Jacobiano 



A (<t>) = 0 B (cP) = 0 , e (#) = 0 , 



che ammette due soluzioni indipendenti, una delle quali è la y stessa, per- 

 ciò la funzione <P contiene una funzione arbitraria di y. 



« Ne concludiamo : L'equazione lineare (22) ha a comune con 

 altre equazioni del 2° ordine integrali contenenti una fun- 

 zione arbitraria solo quando è immediatamente integrabile 

 col metodo d'Eulero o dopo una prima trasformazione di La- 

 place. 



« Così per es. per l'equazione 



s = te (X funzione di se, y) 



( x ) Vedi per es. Imschenetsky, Équations à dérivées partielles du second ordre. Cli.II 

 § 10 p. 56. 



